persamaan differensial

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Banyak masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan dalam persamaan diferensial. Untuk menyelesaikannya masalah tersebut kita perlu menyele-saikan pula persamaan diferensialnya. Dalam bab ini persamaan diferensial yang diberi-kan dibatasi pada persamaan diferensial tingkat satu khususnya sampai persamaan dife-rensial eksak.

                 

Pengertian Persamaan Diferensial

Secara matematis, persamaan differensial adalah persamaan yang didalamnya terdapat turunan-turunan. Secara fisis, persamaan differensial adalah persamaan yang menyatakan hubungan antara turunan (derivative) dari satu variabel tak bebas terhadap satu/lebih variabel bebas.

Banyak permasalahan dalam berbagai bidang teknik, fisika maupun bidang – bidang kehayatan yang dapat dimodelkan ke dalam bentuk persamaan diferensial. Berikut diberikan beberapa contoh fenomena di alam yang dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial.

 

Berdasarkan banyaknya variabel bebas, Persamaan Differensial dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu:

1.      Persamaan Differensial Biasa, yaitu persamaan differensial yang mengandung hanya satuvariabel bebas

 2.  Persamaan Differensial Parsial, yaitu persamaan differensial yang mengandung lebih dari satu variabel bebas.

Definisi : Tingkat (Ordo) suatu PD adalah tingkat turunan tertingi yang terlibat dalam PD tersebut.

Derajat (degree) suatu PD adalah pangkat dari turunan ordo tertinggi jika PD tersebut ditulis sebagai polinomial dalam turunan.

Definisi :Suatu persamaan yang tidak lagi memuat turunan dan memenuhi satu  persa-maan differesial  disebut penyelesaian persamaan differensial.

Penyelesaian suatu persamaan diferensial dibedakan menjadi 2 yaitu :

a.      Penyelesaian Umum Persamaan Differensial (PUPD), adalah selesaian PD yang masih memuat memuat konstanta penting (konstanta sebarang).

b.      Penyelesaian Partikulir/Khusus Persamaan Differensial (PPPD/PKPD),  adalah selesaian PD yang diperoleh dari PUPD dengan mengganti konstanta penting dengan konstanta yang memenuhi syarat awal atau syarat batas.

Persamaan Differensial Terpisah Dan Mudah  Dipisah

Bentuk Umum PD dengan variable terpisah :

f(x) dx + g(y) dy = 0

Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh PUPD  :

Penyelesaian :