SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL (SPLDV)

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah sebuah sistem / kesatuan dari beberapa Persamaan Linear Dua Variabel yang sejenis. Jadi, sebelum mempelajari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) lebih jauh kita pelajari terlebih dahulu mengenai hal – hal yang berhubungan dengan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV).

A. Suku, Koefisien, Konstanta dan Variabel
      Sebelum mempelajari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) kita terlebih dahulu harus mengenal apa yang dimaksud dengan Suku, Koefisien, Konstanta, dan Variabel.
Variabel adalah suatu peubah/ pemisal/ pengganti dari suatu nilai atau bilangan yang biasanya dilambangkan dengan huruf/simbol.

Contoh :
Andi memiliki 5 ekor kambing dan 3 ekor sapi.                                                                                 Jika ditulis dengan memisalkan: a = kambing dan b = sapi
Maka: 5a + 3b, dengan a dan b adalah variabel                                                                                Koefisien adalah sebuah bilangan yang menyatakan banyaknya jumlah variabel yang sejenis. Koefisien juga dapat dikatakan sebagai bilangan di depan variabel karena penulisan untuk sebuah suku yang memiliki variabel adalah koefisien didepan variabel.
Contoh :
Andi memiliki 5 ekor kambing dan 3 ekor sapi.                                                                                          Jika ditulis dengan memisalkan: a = kambing dan b = sapi
Maka: 5a + 3b, dengan 5 dan 3 adalah koefisien
Dengan 5 adalah koefisien a dan 3 adalah koefisien b                                                                          Konstanta adalah suatu bilangan yang tidak diikuti oleh variabel sehingga nilainya tetap (konstan) untuk nilai peubah (variabel) berapapun.
Contoh :
4p + 3q – 10.
– 10 adalah suatu konstanta karena berapapun nilai p dan q, nilai -10 tidak ikut terpengaruh sehingga tetap (konstan)

Suku adalah suatu bagian dari bentuk aljabar yang dapat terdiri dari variabel dan koefisien atau berbentuk konstanta yang tiap suku dipisahkan dengan tanda operasi penjumlahan.
Contoh :
5x- y + 7 , suku – sukunya adalah : 5x, -y, dan 7

B. Persamaan Linear Dua Variabel
     Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) adalah sebuah bentuk relasi sama dengan pada bentuk aljabar yang memiliki dua variabel dan keduanya berpangkat satu. Dikatakan Persamaan Linear karena pada bentuk persamaan ini jika digambarkan dalam bentuk grafik, maka akan terbentuk sebuah grafik garis lurus (linear).
Ciri – ciri PLDV:
1. Menggunakan relasi sama dengan ( = )
2. Memiliki dua variabel berbeda
3. Kedua variabelnya berpangkat satu

Contoh :
2x – 5y = 2 adalah (PLDV)
3x + 5y > 10 adalah (Bukan PLDV) karena menggunakan relasi “>”

Dalam kehidupan sehari – hari, banyak permasalahan yang berhubungan dengan konsep persamaan linear dua variabel. Contohnya:
Andi membeli 2 buku tulis dan 3 pensil = Rp 20.000,00 .Berapakah harga untuk masing – masing barang tersebut?

Permasalahan di atas adalah salah satu permasalahan yang berhubungan dengan PLDV karena terdapat 2 variabel yang berbeda yakni harga buku tulis dan harga pensil. Jika dimisalkan a = harga buku tulis, dan b = harga pensil. Maka, permasalahan diatas dapat diubah dalam bentuk matematika sebagai berikut:
2a + 3b = 20.000
Dengan a dan b adalah suatu peubah dari harga barang yang berbeda.

Pada permasalahan PLDV seperti ini, kedua variabel nilai akan saling mempengaruhi sehingga untuk satu bentuk PLDV, kita dapat menyelesaikannya dengan cara menebak langsung kemungkinan kemungkinannya. Perhatikan tabel berikut!
Harga Buku Tulis     Harga Pensil
Rp 2.000,00             Rp 6.000,00
Rp 2.500,00             Rp 5.000,00
Rp 4.000,00             Rp 4.000,00
Rp 5.500,00             Rp 3.000,00
Dst

Tabel diatas menunjukkan kemungkinan – kemungkinan harga buku dan pensil sehingga untuk pembelian 2 buku tulis dan 3 pensil adalah Rp 20.000,00.

Dicoba!
Jika Deni membeli 5 ekor ayam dan 2 ekor bebek dengan harga Rp 250.000,00. Maka harga ayam dan bebek masing – masing adalah …

C. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
     Seperti pada penjelasan sebelumnya, Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah sebuah sistem / kesatuan dari beberapa Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) yang sejenis. Persamaan Linear Dua Variabel yang sejenis yang dimaksud disini adalah persamaan – persamaan dua variabel yang memuat variabel yang sama.
Contoh :
Persamaan (i) ; 2x + 3y = 12
Persamaan (ii) ; x – 2y = -1
Kedua persamaan diatas dikatakan sejenis karena memuat variabel variabel yang sama yakni x dan y.

Jika pada PLDV, dapat dikatakan bahwa PLDV memiliki penyelesaian lebih dari satu asalkan penyelesaian tersebut memenuhi nilai pada PLDV. Jika pada SPLDV, persamaan – persamaan yang ada akan saling mengikat nilainya sehingga himpunan penyelesaiannya harus memenuhi disemua PLDV yang membentuk SPLDV.
Contoh :
Jika 2x + 3y = 12 dan x – 2y = – 1, maka nilai x dan y masing-masing adalah …

Perhatikan tabel penyelesaian berikut!
Pers. 2x + 3y = 12      Pers. x – 2y = -1
x            y                       x           y
0           4                       0          ½
1          10/3                   1          1
2          8/3                     2         3/2
3          2                        3         2
5          2/3                     4        5/2
6          0                       -1        0
Dst                                    Dst

Pada masing – masing PLDV memiliki banyak penyelesaian, namun untuk himpunan penyelesaian yang benar pada SPLDV adalah penyelesaian yang ada di semua/ di setiap PLDV. Pada contoh diatas, himpunan penyelesaiannya adalah x = 3 dan y = 2

Dicoba!
Jika 2a + b = 7 dan 2a – b = 5. Maka nilai a dan b masing – masing adalah …
Jika a + b = 3 dan 2a + 2b = 6. Maka nilai a dan b masing – masing adalah …

Dari contoh diatas, dapat disimpulkan bahwa syarat sebuah Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dapat Memiliki satu penyelesaian jika:
1. Terdapat PLDV lebih dari 1 dan sejenis
2. PLDV yang membentuk SPLDV bukan PLDV yang sama

D. Cara Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV
     Selain cara sebelumnya terdapat cara/ metode lain untuk menentukan himpunan penyelesaian dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). Diantaranya:
1) Metode Substitusi (Mengganti)
Metode ini adalah metode yang menggunakan nilai atau persamaan dari sebuah variabel untuk menggantikan variabel tersebut.
Contoh :
Jika 2a + b = 7 dan 2a – b = 5. Maka nilai a dan b masing – masing adalah …

Jawab:
2a + b = 7 ………. pers. i
2a – b = 5 ………. pers. ii
Pers. i dapat diubah bentuk menjadi b = 7 – 2a, sehingga kita dapat mengganti b pada pers. ii dengan bentuk tersebut.
b = 7 – 2a ……… pers. i
2a – b = 5………. pers. ii
2a – (7 – 2a) = 5 ……………… b diganti 7 – 2a
2a – 7 + 2a = 5
4a = 5 + 7
a = 12/4
a = 3

nilai a adalah 3, ini dapat kita substitusikan ke pers. i atau pers. ii
b = 7 – 2a
b = 7 – 2(3)
b = 7 – 6
b = 1

Dicoba!
Tentukan nilai p dan q jika 2p – q = 5 dan p + 3q = – 1!

2) Metode Eliminasi (Menghilangkan)
       Metode eliminasi adalah metode yang menggunakan cara menghilangkan sebuah variabel dari dua persamaan dengan mengoperasikan kedua persamaan. Yang dimaksud mengoperasikan persamaan disini adalah kita dapat menjumlahkan persamaan atau mengurangkan persamaan satu dengan persamaan lainnya sehingga salah satu variabelnya habis / hilang.
Contoh :
Tentukan nilai p dan q jika 2p – q = 5 dan p + 3q = – 1!

Jawab :
Dua persamaan tersebut dapat langsung kita jumlah atau kurangkan, tapi jika langsung dijumlah atau dikurangkan tidak akan ada variabel yang hilang sehingga kita harus menyamakan koefisien salah satu variabel dari kedua PLDV tersebut. Misalkan kita menyamakan koefisien p sehingga p nanti dapat hilang.
2p – q = 5    (x 1)      2p – q = 5
p + 3q = – 1 (x 2)      2p + 6q= -2 –
                                  0 – 7q = 7
                                         q = (-7)/7
                                         q = -1

setelah nilai q diperoleh, kita dapat mencari p dengan menghilangkan q dengan cara yang sama seperti saat menghilangkan p.
2p – q = 5    (x 3)   6p–3q = 15
p + 3q = – 1 (x 1)    p + 3q = -1 +
                              7p + 0 = 14
                                      p = 14/7
                                      p = 2

3) Metode Campuran (Eliminasi – Substitusi)
      Metode campuran ini adalah metode yang menggaabungkan metode eliminasi dan metode substitusi yakni dengan metode eliminasi sebagai metode awal untuk menentukan nilai salah satu variabel dan kemudian nilai variabel tersebut disubstitusikan untuk menentukan nilai variabel yang lain.
Contoh :
Tentukan nilai p dan q jika 2p – q = 5 dan p + 3q = – 1!

Jawab:
2p – q = 5 … (pers. i)
p + 3q = – 1 … (pers. ii)
Eliminasi per (i) dan pers (ii)
2p – q = 5    (x 1)      2p – q = 5
p + 3q = – 1 (x 2)      2p + 6q= -2 –
                                  0 – 7q = 7
                                         q = (-7)/7
                                         q = -1

Setelah nilai q diperoleh, kita substitusikan ke salah satu persamaan.
p + 3q = -1
p + 3(-1) = -1
p – 3 = -1
p = -1 + 3
p = 2
HP = {2; -1}