A.
Barisan dan deret
1. Barisan
Bilangan
Bilangan-bilangan yang disusun urut dengan aturan tertentu
seperti itulah dikenal dengan nama barisan bilangan.
Secara
matematis, barisan bilangan merupakan nilai fungsi dengan daerah definisinya
adalah bilangan asli. Misalkan barisan bilangan ditulis lambang U untuk
menyatakan urutan suku-sukunya maka bilangan pertama ditulis U(1) atau U1, bilangan
kedua ditulis U(2) atau U2, dan seterusnya.
Jadi,
bentuk umum barisan bilangan adalah U1, U2, U3,
..., Un, ...
Dalam
hal ini, Un = f(n) disebut rumus umum suku ke-n dari
barisan bilangan.
Contoh
Soal :
Diketahui
barisan bilangan 4, 7, 12, 19, ....
a.
Tentukan rumus suku ke-n.
b.
Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 199?
Penyelesaian
:
Barisan
bilangan: 4, 7, 12, 19, ...
a. Suku ke-1 = U1 = 4 = 12 +
3
Suku ke-2 = U2 =
7 = 22 + 3
Suku ke-3 = U3 =
12 = 32 + 3
Suku ke-4 = U4 =
19 = 42 + 3
Suku ke-n = Un = n2 +
3
Jadi,
rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = n2 +
3.
b. Diketahui suku ke-n = 199, berarti
Un =
199
↔ n2 + 3 = 199
↔ n2 =
196
Karena n2 =
196 maka n1 = 14 atau n2 = –14
(dipilih nilai n positif).
Mengapa tidak
dipilih n = –14?
Jadi, suku yang nilainya 199 adalah suku ke-14.
2. Deret
Bilangan
Misalkan
kita mempunyai barisan bilangan U1, U2, U3,
..., Un dan Sn adalah jumlah dari
suku-suku barisan itu.
Sn = Sn =
U1 + U2 + U3 + ... + Un disebut
deret.
Jadi,
deret adalah jumlahan suku-suku dari suatu barisan.
1. Barisan
Aritmatika
Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang
selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap
(konstan).Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b.
Perhatikan
juga barisan-barisan bilangan berikut ini.
a.
1, 4, 7, 10, 13, ...
b.
2, 8, 14, 20, ...
c.
30, 25, 20, 15, ...
Barisan-barisan tersebut merupakan contoh dari barisan
aritmatika.
Rumus
umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U1) dilambangkan dengan
a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut.
U1 =
a
U2 =
U1 + b = a + b
U3 =
U2 + b = (a + b) + b = a + 2b
U4 =
U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U5 =
U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
n
= Un–1 + b = a + (n – 1)b
Jadi,
rumus suku ke-n dari barisan aritmatika adalah :
Un = a + (n – 1)b
|
Keterangan:
Un = suku ke-n
a = suku pertama
b = beda
n = banyak suku
|
Contoh
Soal Barisan Aritmatika :
1.
Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....
Jawaban
:
–3, 2, 7, 12, …
Suku
pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5.
Dengan
menyubstitusikan a dan b, diperoleh Un = –3 + (n – 1)5.
Suku
ke-8 : U8 = –3 + (8 – 1)5 = 32.
Suku
ke-20 : U20 = –3 + (20 – 1)5 = 92.
2
. Diketahui barisan aritmetika –2,
1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut.
Penyelesaian
:
Diketahui
barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.
Dari
barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3, dan Un =
40.
Rumus
suku ke-n adalah Un = a + (n – 1)b sehingga :
40
= –2 + (n – 1)3
↔ 40
= 3n – 5
↔ 3n
= 45
Karena
3n = 45, diperoleh n = 15.
Jadi,
banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.
2. Deret
Aritmetika
Dari sembarang barisan aritmetika, misalnya 2, 5, 8, 11, 14,
... dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan berurut dari
suku-suku barisan tersebut, yaitu 2 + 5 + 8 + 11 + .... Terlihat bahwa barisan
aritmetika dapat dibentuk menjadi deret aritmetika dengan cara menjumlahkan
suku-suku barisan aritmetika sehingga dapat didefinisikan secara umum.
Misalkan U1,
U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku dari
suatu barisan aritmetika. U1 + U2 + U3 +
... + Un disebut deret aritmetika, dengan :
Un = a + (n – 1)b.
|
Seperti
telah kalian ketahui, deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan
aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan
dinotasikan Sn. Dengan demikian,
Sn = U1 + U2 +
U3 + ... + Un.
|
contoh
soal
1. tentukan jumlah sepuluh suku pertama dari deret
-2+0+2+...
Jawab :
U1
= -2
b = 0-(-2)
= 2
Sn
= n/2(2a + (n-1)b)
S10
= n/2(2.-2 + (10-1)2
= 10/2(-4 + (9)2
= 5
(-4 + 18)
= 5
(14)
= 70
Tidak ada komentar:
Posting Komentar