model statistika

MODEL-MODEL STATISTIK

5.1 Model Statistik

Data dipandang sebagai hasil (outcome) eksperimen random.

Contoh 1 :

Dari suatu pengiriman barang yang terdiri dari N elemen, Nθ menyatakan jumlah elemen cacat. Untuk mendapatkan informasi tentang θ, suatu sampel random dengan ukuran n diambil dan dilihat jumlah barang yang cacat. Data yang didapat adalah jumlah cacat yang terdapat dalam sampel.

Diberikan eksperimen random dengan ruang sampel Ж. Pada ruang sampel ini didefinisikan vector random =(x₁,x₂,…,x_n), karena hanya  yang kita observasi, maka kita hanya perlu memandang distribusi probabilitasnya. Distribusi ini diandaikan menjadi anggota keluarga  dari distribusi probabilitas pada (

: ruang parameter

Θ : parameter: state  nature

P : model statistic

Tujuan analisis adalah memberikan pernyataan tentang harga θ. Berikut ini diberikan beberapa kelas model statistic.

Definisi:

Misalkan (  ruang ukuran dengan adalah keluarga ukuran  finite dan  adalah keluarga ukuran probabilitas pada .

Dikatakan terdominan oleh (atau ρ disebut keluarga terdominasi) ρ_θ<< . Dalam hal ini kita menulis atau untuk densitas (Randon-Nikodym derivative) dari ρθ terhadap(yaitu  dan mengidentifikasikan dengan keluarga densitas

Hampir semua model statistic adalah keluarga terdomonasi, yaitu terhadap ukuran lebesque (vector random diskrit)

Definisi:

Misalkan β(x) suatu densitas

1)      Keluarga f(x|θ) = f (x-θ) . -  disebut keluarga lokasi dengan densitas baku f(x) dan θ disebut parameter lokasi dari keluarga tersebut.

Contoh 2 :

1.      f(x|θ) =

2.      f(x| =

2)      Keluarga f(x|r)=r^-1 f(x|r), untuk r >0 disebut keluarga skala dengan densitas baku f(x) dan r disebut parameter skala dari keluarga tersebut

contoh: f(x|r) =

3)      Keluarga f(x|θ,r) = r^-1 f( untuk r>0 disebut keluarga lokasi-skala dengan densitas baku f(x), θ disebut parameter lokasi dan r disebut parameter skala

contoh :f(x|θ,r) =

1.2 Keluarga Eksponensial

Definisi:

Keluarga densitas disebut keluarga eksponensial bila ia dapat dinyatakan sebagai

 f(x|θ) = h(x) c(θ) exp ………………………………….(1.1)

disini h(x) ≥0 dan t₁(x),…tk(x) fungsi real dari x (mereka tidak boleh tergantung pada θ), dan ((θ)≥0 dan w₁(θ), w₂(θ),…,wk (θ) fungsi berharga real dari θ (mereka tidak boleh tergantung pada x. θ bias berupa vector.

Contoh 3 :

1.      f(x|θ) =

          =

          =

Definisikan :

h(x) = 

c(θ) =    

w₁(θ) =  

dan t₁ (x) = x

Maka kita mempunyai f  dan ini adalah bentuk (1.1) dengan k = 1.

2.      Misalkan  adalah keluarga N( ). Disini = ( , . Maka 

 = 

            Definisikan h(x) = 1 untuk semua x

            c(  

            w₁( ,              w₂( 

            t₁(x)     =   - 

Maka  dan ini adalah bentuk (1.1) dengan k = 1. Keluarga eksponensial kadang-kadang diparameterkan kembali sebagai : . Disini h(x) dan t₁(x) adalah fungsi-fungsi yang sama seperti dalam bentuk parameter asal (1.1).

Himpunan H = {  disebut ruang parameter alami (natural parameter place) untuk keluarga eksponensial.

Contoh 4 :

Untuk menentukuan ruang parameter alami bagi keluarga distribusi normal, w₁ diganti dengan , sehingga . Integral berhingga berhubungan koefisien pada x²negatif. Hal ini berarti bahwa  harus positif. Jadi, ruang parameter alami adalah { dimana  .

fungsi pembangkit momen

Fungsi Pembangkit Momen

A.   MOMEN

1.    Momen

Jika X adlah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka momen ke-k (dinotasikan dengan didefinisikan sebagai:

 2.   Momen Diskrit 
Jika X adlah peubah acak diskrit dan p (x) adalah nilai fungsi peluang dari X di x, maka momen ke-k (dinotasikan dengan ) didefinisikan sebagai:

Contoh:  
Berikut ini diberikan distribusi peluang dari peubah acak X 

Hitunglah nilai

Penyelesaian :

Berdasarkan definisi momen diskrit, maka:

3.   Momen Kontinu 
Jika X adalah peubah acak kontinu dan f(x) adalah nilai fungsi densitas dari X di x, maka momen ke-k ( dinotasikan dengan ) didefinisikan sebagai :

Contoh :

Misalnya fungsi dnsitas dari X berbentuk:

Hitung  
Penyelesaian :

B.   FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN  
Pada bagian sebelumnya, kita membahas momen ke- k yang dinotasikan dengan .
Momen ini bisa juga diperoleh melalui besaran lainnya, yang dinamakan fungsi pembangkit momen.
Sehingga  fungsi pembangkit momen merupakan sebuah fungsi yang dapat menghasilkan momen-
momen. Selain itu, penentuan distribusi baru dari peubah acak yang baru merupakan kegunaan lain
fungsi pembangkit momen.

1. Fungsi pembangkit Momen 
Definisi 1 

Jika X adalah peubah acak , baik dari diskrit maupun kontinu, maka fungsi pembangkit momen dari

X ( dinotasikan dengan (M_x(t)) didefinisikan sebagai : 

M_x(t) = E(e^tX) 

Untuk -h < t < h dan h > 0

2. Fungsi Pembangkit Momen Diskrit 
Definisi 2 
Jika  adalah peubah acak diskrit dan p(x) adalah nilai fungsi peluang dari X di x, maka fungsi
pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai :

3. Fungsi Pembangkit Momen Kontinu 
Definisi 3 
jika X adalah peubah acak kontinu dan f(x) adalah nilai fungsi densitas dari X di x, maka fungsi 
pembangkit momen dari x didefinisikan sebagai:

Berikut ini akan dijelaskan dua cara dalam pembuktian bahwa fungsi pembangkit momen itu bisa 
menghasilkan momen – momen.

a.   Jika definisi 1, e^tX diuraikan dengan menggunakan perluasan deret MacLaurin, maka dapat diperoleh:

Jika M_x(t) diturumkan terhadap t, kemudian harga t sama dengan nol, maka akan diperoleh :

Demikian seterusnya, sehinga apabila  diturunkan terhadap tsebanyak r kali, kemudian harga t sama dengan nol, maka akan diperoleh:

 

 

Demikian seterusnya, sehinga apabila  diturunkan terhadap tsebanyak r kali, kemudian harga t sama dengan nol, maka akan diperoleh:

b.      Dalam hal ini, kita akan menurunkan terhadap t dari perumusan pada definisi 1

Demikian seterusnya, sehingga apabila M_x(t) diturunkan terhadapt sebanyak r kali, kemudian harga t sama dengan nol, maka akan diperoleh:

C.   PENURUNAN MOMEN DARI FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN 
Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu danM_x(t) adalh fungsi pembangkit 
momennya, maka :

 

Jika kita memperhatikna uraian diatas, maka syarat fungsi pembangkit momen akan menghasilkan momen–momen adalah -h < t < h dan  h > 0. Apa artinya? Coba kita subsitusikan beberapa nilai hke dalam -h < t < h.

Maka kita dapat menyimpulkan bahwa nilai t itu harus mencakup 0 (nol). Akibatnya, apabila fungsipembangkit momen menghasilkan sebuah fungsi t dengan harga t-nya idak sama dengan nol, maka kita harus menentukan fungsi pembangkit momen yang berlaku untuk harga t sama dengan nol. 

Pemahaman penentuan fungsi pembangkit momen dari sebuah peubah acak, baik diskri maupun kontinu diperjelas melalui contoh berikut:

Contoh:

Misalnya fungsi peluang dari X berbentuk:

 

a.  Tentukam fumgsi pembangkit momen dari X.

b.  Hitungberdasarkan hasil fungsi pembangkit momen.

Penyelesaian:

Berdasarkan definisi fungsi pembangkit momen diskrit, maka: