Tampilkan postingan dengan label kalkulus. Tampilkan semua postingan

Minggu, 08 Mei 2016

integral

TURUNAN

Materi turunan dalam Matematika memiliki sub bab mengenai persamaan garissinggung suatu kurva, maka materi ini pasti akan teman-teman temui jika sedangmengulas mengenai turunan. Agar teman-teman lebih paham mengenai cara mencari persamaan garis singgung kurva mari kita simak penjelasan berikut ini.

Sebelum kita belajar kemateri inti yaitu cara mencari persamaan garis singgung kurva, kita harus tahu dulu mengenai gradient garis yang disimbolkan dengan m, dimana :

· Gradian garis untuk persamaan y = mx + c adalah m

· Gradient garis untuk persamaan ax + by = c, maka m = -a/b

· Gradient garis jika diketahui dua titik, misal ( x1 , y1 ) dan ( x2 , y2 ) makauntuk mencari gradient garisnya m = ( y2 - y1 ) / ( x2 - x1 )

Gradien dua garis lurus, berlaku ketentuan :

· Jika saling sejajar maka m1 = m2

· Jika saling tegak lurus maka m1.m2 = -1 atau m1 = -1/(m2)

Persamaan Garis Singgung Kurva

Jika terdapat kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x1, y1) maka gradientgaris singgung tersebut bias dinyatakan dengan m = f ' ( x1 ). Sementara itu x1 dan y1 memiliki hubungan y1 = f(x1). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakandengan y – y1 = m(x – x1).

Jadi inti nyajikan kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika diketahuigradiennya m dan menyinggung di titik (x1,y1) maka kita gunakan persamaan y-y1=m(x-x1)

Agar lebih memahami mengenai materi persamaan garis singgung tersebut, perhatikanbeberapa contoh soal berikut ini :

1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ – 3x di titik (2, 3) ?

Jawab :
f(x) = x³ – 3x
f ‘(x) = 3x² – 3
m = f ‘(2) = 12 – 3 = 9

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y – y1 = m(x – x1)
y – 3 = 9 (x – 2)
y – 3 = 9x – 18
y = 9x – 15

2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x⁴ – 7x² + 20 dititik yang berabsis 2 ?

Jawab :
x = 2
y = x⁴ – 7x² + 20 = y = 2⁴ – 7.2² + 20 = 16 – 28 + 20 = 8
m =y’ = 4x³ – 14 x = 4.2³ – 14.2 = 32 – 28 = 4

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 8 = 4(x – 2)
y – 8 = 4x – 8
y = 4x

3. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ + 10 di titik yang berordinat18 ?

Jawab :
Ordinat adalah nilai y, maka
y = 18
x³ + 10 = 18
x³ = 8
x = 2

m = y’ = 3x² = 3.2² = 12

Sehingga persamaan garis singgungnya
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 18 = 12(x – 2)
y – 8 = 12x – 24
y = 12x – 16

5. Persamaan garis singgung pada kurva y = x⁴ – 5x² + 10 di titik yang berordinat 6 adalah

Jawab :
ordinat = 6
x⁴ – 5x² + 10 = 6
x⁴ – 5x² + 4 = 0
(x² – 1)(x² – 4) = 0
(x + 1)(x – 1)(x + 2)(x – 2) = 0
x = -1 atau x = 1 atau x = -2 atu x = 2

untuk x = -1
m = 4x³ – 10x = -4 + 10 = 6
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 6 = 6(x + 1)
y – 6 = 6x + 6
y = 6x + 12

Untuk x = 1
m = 4x³ – 10x = 4 – 10 = -6
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 6 = -6(x – 1)
y – 6 = -6x + 6
y = -6x + 12

Untuk x = -2
m = 4x³ – 10x = 4(-2)³ – 10(-2) = 4(-8) + 20 = -32 + 20 = -12
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 6 = -12(x + 2)
y – 6 = -12x – 24
y = -12x – 18

Untuk x = 2
m = 4x³ – 10x = 4.2³ – 10.2 = 4.8 – 20 = 32 – 20 = 12
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 6 = 12(x – 2)
y – 6 = 12x – 24
y = 12x – 18

Jadi, ada 4 persamaan garis singung, yaitu y = 6x + 12, y = -6x = 12, y = -12x – 18 dan y = 12x – 18

6. Persamaan garis singgung pada kurva y = 3x⁴ – 20 yang sejajar dengan garis y = 12x + 8 adalah

Jawab :
y = 3x⁴ – 20y’ = 12x³

Persamaan garis yang sejajar dengan garis singgung adalah
y = 12x + 8
maka gradient garis ini adalah m₁ = 12
Karena sejajar maka gradiennya sama sehingga gradient garis singgung (m₂) adalah
m₂ = m₁ = 12

gradient garis singgung ini sama dengan turunan kurva sehingga
y’ = 12
12x³ = 12
x³ = 1
x = 1
maka y = 3x⁴ – 20 = 3 – 20 = – 17

Persamaan garis singgungnya adalah
y – y₁ = m(x – x₁)
y + 17 = 12(x – 1)
y + 17 = 12x – 12
y = 12x – 29

7. Garis yang menyinggung kurva y = 12 – x⁴ dan tegak lurus dengan x – 32y = 48 mempunyai persamaan ….

Jawab :
y = 12 – x⁴
y’ = – 4x³

Sedangkan
x – 32y = 48
32y = x – 48

Garis ini memiliki gradien m1 = 1/32
Karena garis singgungnya tegak lurus dengan garis ini maka

m₁.m₂ = -1
(1/32) m2 =-1
m₂= -32
m₂ ini adalah gradient garis singgung, sehingga sama dengan turunan
y’ = -32
– 4x³ = -32
x³ = 8
x = 2
y = 12 – x⁴ = 12-2⁴ = -4
maka persamaan garis singgungnya
y – y₁ = m(x – x₁)
y + 4 = -32(x – 2)
y + 4 = -32x + 64
y = -32x + 60

Kamis, 28 April 2016

turunan sigma

Pengertian dan Contoh Soal Notasi Sigma

Advertisements

NOTASI SIGMA

Notasi Sigma merupakan notasi yang digunakan untuk menyatakan penjumlahan bilangan. Perhatikan contoh berikut

Advertisements

Untuk notasi:

dimana :

1 adalah batas bawah

n adalah batas atas

u_i adalah suku

dalam hal ini huruf yang dipakai tidak selalu i dapat juga menggunakan huruf lain.

Sifat – Sifat Notasi Sigma

Berikut ini beberapa sifat dari notasi sigma yang dapat dijadikan panduan dalam mengerjakan soal-soal mengenai notasi sigma :

Setelah mengetahui beberapa sifat dari notasi sigma maka kita akan dengan mudah mengerjakan contoh soal dibawah ini.

contoh :

Beberapa rumus untuk notasi sigma

Rumus berikut ini dapat membantu dalam menyelesaikan berbagai variasi soal notasi sigma.

contoh 1 :

contoh 2 :

contoh 3 :

Dengan menggunakan sifat notasi sigma, buktikan bahwa :

Contoh Soal Notasi Sigma

Materi notasi sigma memang rasanya tidak begitu menguras otak, sehingga kita dapat dengan cepat mempelajarinya. Semangatlah dan setiap mempelajari materi matematika yang ada, maka hasilnya akan maksimal. Pelajari juga materi yang sebelumnya telah saya berikan seperti cara membaca tabel trigonometri, metode menghitung volume benda putar, dan lain sebagainya.

Advertisements

Komentar

Back To Main Page

By raras on August 28, 2013 · Posted in Notasi Sigma

Be the first to post a comment

Senin, 25 April 2016

turunan integral

Home » Fungsi Eksponen dan Logaritma » Rumus Turunan Lengkap Beserta Contoh

Rumus Turunan Lengkap Beserta Contoh

Monday, August 19th 2013. | Fungsi Eksponen dan Logaritma, Turunan

advertisements

Matematika merupakan ilmu yang sangat luas juga menyenangkan, sebelumnya telah kita bahas mengenaifrekuensi harapan dan peluang komplemen suatu kejadian yang merupakan sub bahasan dari topikpeluang. Dan kali ini topik yang akan kita pelajari mengenai turunan? anda pasti telah mengenal apa itu turunan bukan?

Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.

adalah simbol untuk turunan pertama.
adalah simbol untuk turunan kedua.
adalah simbol untuk turunan ketiga.

simbol lainnya selain

dan

adalah

dan

adversitemens

TURUNAN PERTAMA

Misalnya y merupakan fungsi dari x atau dapat ditulis juga y=f(x). Turunan dari y terhadap x dinotasikan sebagai berikut:

Dengan menngunakan definisi turunan diatas dapat diturunkan beberapa rumus-rumus turunan, yaitu :

1. Jika diketahui

dimana C dan n konstanta real, maka

Perhatikan contoh berikut :

2. Jika diketahui y=C dan

Perhatikan contoh berikut :

3. Untuk y=f(x)+g(x) maka

Perhatikan contoh berikut :

4. Untuk y=f(x).g(x) maka

atau dapat juga kita misalkan f(x)=u dan g(x)=v sehingga rumus turunan u.v=u’v+uv’

contoh :

6. Untuk turunan lain tersaji dalam penjelasan dibawah ini.

TURUNAN KEDUA

Turunan kedua dari y=f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut

Turunan kedua merupakan turunan yang diperoleh dengan menurunkan kembali turunan pertama. Perhatikan contoh berikut :

Penggunakan untuk turunan kedua ini antara lain untuk :

a. Menentukan gradien garis singgung kurva

Jika diketahui garis g menyinggung kurva y=f(x) pada titik (a,f(a)) sehingga gradien untuk g adalah

Sebagai contoh tentukanlah gradien garis singgung dari kurva y=x²+3x dititik (1,-4) !

Penyelesaian :

Sehingga gradien garis singgung kurva y=x²+3x dititik (1,-4) adalah m=y(1)=2.1+3=5

b. Menentukan apakah interval tersebut naik atau turun

kurva y =f(x) naik jika f ‘ (x) >0 dan kurva y=f(x) turun jika f ‘ (x) <0. Lalu bagaimana cara menentukan f ‘ (x) > 0 atau f ‘ (x) <0 ? kita gunakan garis bilangan dari f ‘ (x). Perhatikan contoh berikut :

Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi y=x³+3x²-24x !

Jawab :

y=f(x)=x³+3x²-24x →f ‘ (x)=3x²+6×-24=3(x²+2×-8)=3(x+4)(x-2)

Berdasarkan garis bilangan yang diperoleh diatas :

f ‘ (x) >0 untuk x<-4 dan x>2 yang merupakan interval untuk fungsi naik.

F ‘ (x) <0 untuk -4 < x < 2 yang merupakan interval untuk fungsi turun.

c. Menentukan nilai maksimum dan nilai minimum

Nilai maksimum dan nilai minimum fungsi ini sering disebut juga dengan nilai ekstrim atau nilai stasioner fungsi, yang dapat diperoleh pada f ‘ (x)=0 untuk fungsi y=f(x). Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Tentukan nilai ekstrim dari fungsi y=x³-3x²-24×-7 !

Jawab :

y’=3x²-6×-24

nilai ekstrim diperoleh dari y’=o maka

3x²-6×-24 = 0

(x²-2×-8)=0

(x-4)(x+2)=0

x1=4 ; x2=-2

Berdasarkan garis bilangan diatas :

Fungsi maksimum pada x=-2 sehingga nilai balik maksimumnya yaitu :

f(-2)=(-2)³-3(-2)²-24(-2)-7

f(-2)=21

Fungsi minimum pada x=4 sehingga nilai balik minimumnya yaitu :

f(4)=(4)³-3(4)²-24(4)-7

f(4)=-87

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Berikut ini rumus untuk turunan fungsi trigonometri :

Perhatikan contoh berikut :

Jawab :

Apakah dari penjelasan mengenai turunan diatas telah membuat anda benar-benar mengerti tentang turunan dan telah dapat mengerjakan ragam variasi soal turunan yang akan anda temui. Semoga saja demikian. Sebagai masukkan banyaklah belajar soal-soal agar anda lebih mantap dalam mengerti setiap materi matematika. Semangatlah dalam belajar agar apa yang dicita-citakan dapat tercapai, baca juga artikelPeluang Kejadian Majemuk dan Kejadian Bersyarat dari sub bab topik Peluang.

ameliafilar35

Minggu, 08 Mei 2016

integral

Kamis, 28 April 2016

turunan sigma

Rumus Matematika

Pengertian dan Contoh Soal Notasi Sigma

NOTASI SIGMA

Sifat – Sifat Notasi Sigma

Komentar

Senin, 25 April 2016

turunan integral

Rumus Turunan Lengkap Beserta Contoh

Related For Rumus Turunan Lengkap Beserta Contoh