pengertian himpunan semesta

Memahami Hipunan Semesta dan Himpunan Bagian | Materi Himpunan semesta dan himpunan bagian merupakan salah satu materi dalam ilmu matematika yang dipelajari sejak SD . Himpunan merupakan suatu kumpulan objek atau benda yang dapat di definisikan secara jelas . Didefinisikan secara jelas yaitu jelas keanggotaannya yaitu setiap kita tunjuk objek , kita dapat mengatakan dengan tegas anggotanya atau bukan anggotanya . Lalu apakah yang dimaksud dengan himpunan semesta dan himpunan bagian ? Pada kesempatan kali ini , kita akan mempelajarinya serta memahami bagaimana cara mengerjakan apabila ada suatu permasalahan yang berhubungan dengan himpunan semesta ataupun himpunan bagian .

Himpunan Semesta dan Himpunan Bagian

Sebelum mempelajari himpunan semesta dan himpunan bagian , maka terlebih dahulu mempelajari himpunan bilangan , perhatikan penjelasan di bawah ini .

Himpunan Bilangan meliputi :

a. Himpunan Bilangan Asli ( A )

A = { 1 , 2 , 3 , 4 , . . . . }

advertisements

b. Himpunan Bilangan Cacah ( C )

C = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , . . . .}

c. Himpunan Bilangan Bulat ( B )

B = { . . . ., -3 ,-2 ,-1 , 0 ,1  , 2 , 3 , . . . }

d. Himpunan Bilangan Rasional ( Q )

Q = { x / x = a/b , a dan b ∈ B , b ≠ 0 }

• Dalam ilmu matematika , tidak mempelajari bilangan yang di bagi 0 . , jadi 0 / o dijawab berapapun benar .
• Bilangan Rasional meliputi bilangan bulat dan pecahan .

e. Himpunan Bilangan Prima ( P )

Bilangan prima yaitu bilangan yang tepat dua buah .

P = { 2, 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 . 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 . . . dst }

Cara Menyatakan Himpunan 

Ada tiga macam cara untuk menyatakan himpunan , yaitu :

a. Dengan menggunakan kata – kata

Contoh :

• Himpunan bilangan prima yang kurang dari 10
• Himpunan huruf Vokal

b. Dengan Cara menuliskan anggotanya

Contoh :

• A = { 2 , 3 , 5 , 7 }
• V = { a , i , u , e , o }

c. Dengan Cara menggunakan notasi pembentuk himpunan

Contoh :

A = { x / x < 10 , x bilangan prima }

Jika dibaca adalah A adalah himpunan semua x sedemikian hingga x kurang dari 10 dan x bilangan prima .

Himpuna semesta 

Himpunan semesta yaitu himpunan yang memuat semua anggota yang sedang dibicarakan . Himpunan semesta dilambangkan dengan huruf  ” S ” .

Contoh 1 :

A = { 1 , 2, 3 , 5 , 7 }

B = {  5 , 7 , 9 }

S = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }

Irisan Himpunan (  )

Irisan Himpunan , dimisalkan A    B yang artinya bahwa himpunan yang anggotanya menjadi nggota A , dan sekaligus menjadi anggota B .

Contoh 2:

A = { 1, 2 ,3 , 4 }

B= { 3 , 4 , 5 }

A    B = { 3 , 4 }

Gabungan (  )

Gabungan , dimisalkan A   B Yang artinya bahwa himpunan yang anggotanya menjadi anggota A atau menjadi anggota B .

Contoh 3:

A = { 1, 2 ,3 , 4 }

B= { 3 , 4 , 5 }

A   B = { 1, 2 , 3 , 4 , 5 }

Diagram Venn

Suatu himpunan dapat dinyatakan dalam diagram ven , diagram ven merupakan diagram yang pertama kali dikemukakan oleh ilmuwan asal Inggris yang bernama JHON VENN .

Dalam diagram venn , himpuan semesta dinyatakan dengan benuk persegi panjang . Sedangkan himpunan yang lain , di luar semesta dinyatakan dalam kurva sederhana dan noktah – noktah untuk menyatakan anggotanya . Dan apabila tidak ada himpunan yang sama antara himpuna A dan B , maka lingkaran dalam himpunan semesta tersebut tidak saling berpotongan . Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh di bawah ini

Contoh 4 :

1.) S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }

A = { 1 , 4 , 6 , 7 }

B = { 2 , 4 , 5 , 8 }

A    B = { 4 }

A   B = { 1 , 2 , 4 , 5  , 6 , 7 , 8 }

Maka apabila digambarkan dalam diagram VENN , adalah :

2.) S = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }

 X = { 1, 2 , 4 , 5 }

Y = { 6 , 7 , 8 }

Himpunan Kosong  ( { } )

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota , dan dinotasikan dengan { } atau 

Himpunan kosong ( { } ) , merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan .

Himpunan Bagian  ( ⊂  )

Himpuna bagian dimisalkan dengan A ⊂  B , Artinya jika setiap anggota A ( Semua anggota A ) , Menjadi anggota B .

Contoh 5:

1.) A = { 1 , 2 , 3 }

B = { 0 , 1 ,2 , 3 , 4 }

A ⊂  B , Karena semua anggota A Menjadi anggota B .

2.) P = { a , b , c }

Q = { a , c , d , e , f }

P bukan Himpunan bagian dari Q ( P ⊂ Q ) , Karena ada anggota P yang tidak menjadi anggota Q .

3.) P = { a , b , c } , Tulislah semua himpunan bagian dari P

1. { }
2. { a }
3. { b }
4. { c }
5. { a , b }
6. { a , c }
7. { b , c }
8. { a , b , c }

“Catatan : Setiap himpunan , merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri “

Dari contoh nomor 3 , maka Cara untuk menentukan Banyaknya Himpunan Bagian A , maka Rumusnya adalah :

A  = 2 ^n(A)

Keterangan :

n(A ) = Banyaknya anggota A

Untuk menentukan banyaknya himpunan bagian suatu himpunan ,yaitu dengan menggunakan konsep segitiga pascal . Perhatikan gambar di bawah ini :

4.)  P ={ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } , n ( P ) = 5

a. Tentukan banyaknya himpunan bagian P

b. Tentukan Banyaknya Himpunan Bagian P yang mempunyai 3 anggota .

Penyelesaian :

a. Banyaknya Himpunan Bag. P = 2 ^n(P)

                                                          = 2 ⁵     = 32

b. Banyaknya Himpunan Bagian P yang mempunyai 3 anggota adalah 10  ( caranya melihat segitiga pascal berikut)

Komplemen Suatu Himpunan 

Komplemen suatu himpunan Dimisalkan dengan A^C atau  A^l, yaitu himpunan yang anggotanya adalah anggota S selain anggota  A 

Untuk lebih memahaminya , perhatikan contoh berikut

Contoh 6 :

1.) S = { 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 }

A = { 1 , 2 , 3 , 4 }

Maka dihasilkan A^C  = { 0 , 5 } dan ( A^C )^C  =  { 1 , 2 , 3 , 4 }

atau dengan kata lain ( A^C )^C = A

2.) S = { 0 , 1 , 2 ,3 ,4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }

P = { 2 , 3 , 4 , 5 }

Q = { 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }

Tentukan :

a. P    Q

b. P   Q

c. P^C  

d. Q^C  

e. ( P    Q )^C

f. ( P   Q )^C

g. P^C    Q^C  

h. P^C    Q^C  

Penyelesaian :

a. P    Q = { 4 , 5 }

b. P   Q = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }

c. P^C  = { 0 , 1 , 6 , 7 , 8 , 9 }

d. Q^C   = { 0 , 1 , 2 , 3 , 9 }

e. ( P    Q )^C = { 0 , 1 , 2 , 3 , 6 , 7 , 8 , 9 }

f. ( P   Q )^C = { 0 , 1 , 9 }

g. P^C    Q^C   = { 0 , 1 , 9 }

h. P^C    Q^C   = { 0 , 1 , 2 , 3 , 6 , 7 , 8 , 9 }

Dari Contoh di atas maka , dihaslkan rumus sebagai berikut :

( P    Q )^C   =  P^C    Q^C

( P   Q )^C  =   P^C    Q^C   

          atau 

( A    B )^C   =A^C    B^C

( A   B )^C  =  A^C    B^C