sistem bilangan berpangkat

Sifat Bilangan Berpangkat | Bilangan berpangkat merupakan salah satu cabang ilmu matematis yang dipelajari sejak kita duduk di bangku Sekolah Dasar . Dan merupakan bentuk kelanjutan dari operasi hitung yang terdiri dari penjumlahan , pengurangan , pembagian dan perkalian .

Sebelum kita mempelajari bilangan berpangkat lebih dalam , maka kita harus mengetahui terlebih dahulu pengertian dari bilangan berpangkat itu sendiri , baru kita mempelajari jenis dan sifat – sifat dari bilangan berpangkat .

Pengertian Dan sifat Bilangan Berpangkat

A. Pengertian bilangan berpangkat 

Bilangan berpangkat , yaitu merupakan bilangan penyederhana dari sebuah bilangan yang di kalikan , atau untuk lebih memahaminya perhatikan penjelasan di bawah ini :

advertisements

aⁿ  = a x a x a x a x . . . .x n ( Sebanyak n )

Keterangan :

aⁿ = bilangan berpangkat

a = bilangan pokok

n = pangkat

B. Jenis – Jenis Bilangan Berpangkat

Bilangan berpangkat , terdiri dari beberapa jenis yaitu :

1. Bilangan berpangkat bulat positif 

yaitu merupakan penyederhanaan dari seatu perkalian bilangan bulat yang memiliki faktor yang sama .

Yaitu merupakan bilangan yang pangkatnya merupakan bilangan negatif .

Yaitu merupakan bilangan berpangkat yang pangkatnya nol . Dan semua bilangan yang di pangkatkan nol hasilnya 1.

n = pangkat  ( eksponen )

Ket:

Contoh :

Contoh :

Apabila dirumuskan adalah :

Apabila dirumuskan :

Apabila dirumuskan :

aⁿ  = a x a x a x a x . . . .x n ( Sebanyak n )

a⁰ = 1

a = bilangan dasar ( bilangan pokok )

7² = 7 x 7 = 49

3. Bilangan Berpangkat Nol

2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

2. Bilangan Berpangkat bulat negatif

10^-2  =  1 / 10² 

C. Sifat – sifat Bilangan Berpangkat

Untuk dapat megerjakan permasalahan – permasalahan di dalam soal bilangan berpangkat , kita harus mengetahui sifat – sifat bilangan berpangkat supaya kita dalam mengerjakannya kita memiliki tata aturan dasar atau sebagai pacuan dalam mengerjakannya dan supaya mempermudah dalam mengerjakannya .

Sifat – sifat bilangan berpangkat adalah sebagai berikut :

1. Perkalian Bilangan Berpangkat 

Dalam perkalian bilangan berpangkat , maka berlaku sifat seperti di bawah ini :

Contoh :

§  2² x 2⁶ = 2 ²⁺⁶  = 2⁸

§  3² x 3² = 2 ²⁺²  = 2⁴

2. Pembagian Bilangan Berpangkat 

Dalam pembagian bilangan berpangkat berlaku rumus :

Contoh :

§  3⁶ : 3² = 2 ^6-2  = 2⁴

§  6⁶ : 6³ = 6^6-3 = 6³

3. Sifat Pemangkatan Bilangan Berpangkat 

Apabila ada suatu bilangan berpagkat yang di pangkatkan lagi ,maka berlaku rumus :

(a^m)ⁿ  =  a ^{m x n}

Contoh :

( 2³ ) ²  = 2 ^{3 x 2}  = 2⁶

4. Sifat Perpangkatan Suatu Perkalian atau pembagian 

§ Apabila ada dua bilangan bulat yang dikalikan dan di pangkatkan maka berlaku rumus :

 ( a x b ) ⁿ = aⁿ  x bⁿ

§ Apabila ada dua bilangan bulat yang di bagi dan di pangkatkan maka berlaku rumus :

( a : b ) ⁿ = aⁿ  : bⁿ

Contoh Soal 

1.     Sederhanakan bentuk bilangan berpangkat berikut :

 a. 

b.

Penyelesaian :

a. 

< = >(  P⁶ / q ^-9 ) ( 4q² /p⁶ )

< = >(  P⁶ : 1/ q ⁹ )   (4q² . p-⁶ )

< = > (P⁶ . q ⁹ ) (4q² . p-⁶ )

< = > 4. P^{6 + (-6)} . q ⁹⁺²

<= > 4. P⁰ . q ¹¹

< = > 4.1. q ¹¹

< = > 4 q ¹¹

b. 

< = > 2x³ : x ^-2  + 4x⁶ : x ^-2

< = > 2x³ : 1/ x² + 4x⁶ : 1/ x²

< = > 2x³ .  x²  + 4x⁶  . x ²

< = > 2 x^{3 + 2}  + 4 x^{6 + 2}

< = > 2 x⁵ + 4x⁸

2. Tentukan hasil dari bentuk pangkat berikut :

a. 5³ x 5⁴

b. ( -3 ) ⁶ x ( -3 ) ⁹

c. ( – 2 ) ¹⁰ x ( -2 ) ²⁰

d. a¹⁰ x a²⁰ x a³⁰

Penyelesaian :

a. 5³x 5⁴ = 5 ^{3+ 4}  = 5⁷

b. ( -3 )⁶x ( -3 )⁹  = ( – 3 ) ^{6 + 9}  = ( – 3 ) ¹⁵

c. ( – 2 )¹⁰x ( -2 ) ²⁰ = ( -2 ) ^{10 + 20}  = ( -2 ) ³⁰

d. a¹⁰x a²⁰x a³⁰  = a ^{10 + 20 + 30}  = a ⁶⁰

macam-macam bentuk pola

Macam – macam pola bilangan | Pola bilangan merupakan sub bab dari materi barisan bilangan atau bab yang perlu di fahami terlebih dahulu sebelum melanjut pada materi barisan aritmatika dan barisan geometri .Pola bilangan juga merupakan materi yang tidak kalah penting untuk dipelajari .

Pola bilangan sendiri memiliki arti suatu susunan bilangan yang memiliki bentuk teratur atau suatu bilangan yang tersusun dari beberapa bilangan lain yang membentuk suatu pola . Dan pola bilanga juga memiliki banyak jenisnya atau macamnya . Pada kesempatan kali ini , kita akan mempelajarinya bersama .

Macam – macam Pola Bilangan

Macam – macam pola bilngan meliputi beberapa jenis berikut ini :

1. Pola Bilangan Ganjil 

Poal bilangan ganjil yaitu pola bilangan yang terbentuk dari bilangan – bilangan ganjil . Sedangkan pengertian dari bilangan ganjil sendiri memiliki arti suatu bilangan asli yang tidak habis dibagi dua ataupun kelipatannya .

advertisements

• pola bilangan ganjil adalah :  1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . .
• Gambar Pola bilangan ganjil :

• Rumus Pola Bilangan ganjil

1 , 3 , 5 , 7 , . . . , n , maka rumus pola bilangan ganjil ke n adalah :

Un = 2n – 1 

Contoh :

1 , 3 , 5 , 7 , . . . , ke 10

Berapakah pola bilangan ganjil ke 10 ?

Jawab :

Un = 2n – 1

U10 = 2 . 10 – 1

        = 20 – 1   = 19

2. Pola Bilangan Genap 

pola bilangan genap yaitu pola bilangan yang terbentuk dari bilangan – bilangan genap . Bilangan genap yaitu bilangan asli yaitu bilangan asli yang habis dibagi dua atau kelipatannya .

• Pola bilangan genap adalah : 2 , 4 , 6 , 8 , . . .
• Gambar pola bilangan genap :

• Rumus Pola bilangan genap

2 , 4 , 6 , 8 , . . . . , n  maka rumus pola bilangan genap ke n adalah : 

Un = 2n 

Contoh :

2 , 4 , 6 , 8 , . . . ke 10 .berapakah pola bilangan genap ke 10 ?

jawab :

Un = 2n

U10 = 2 x 10

        = 20

3. Pola bilangan Persegi 

Pola bilangan persegi , yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk suatu pola persegi .

• Pola bilangan persegi adalah 1 , 4 , 9 , 16 , 25 ,  . . .
• Gambar Pola bilangan persegi :

• Rumus Pola bilangan persegi

1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , . . . , n  maka rumus untuk mencari pola bilangan persegi ke n adalah :

Un =  n²

Contoh :

Dari suatu barisan bilangan 1 , 2 , 9 , 16 , 25 , 36 , . . . ,ke 10 . Berapakah pola bilangan ke 10 dalam pola bilangan persegi ?

Jawab :

Un = n²

U10 = 10²     = 100

4. Pola Bilangan Persegi Panjang 

Pola bilangan persegi panjang yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk pola persegi panjang .

• Pola persegi panjang adalah 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , . . .
• Gambar Pola Bilangan persegi panjang :

• Rumus pola bilangan persegi panjang

2 , 6 , 12 , 20 , 30 , . . .  n  , maka Rumus Pola bilangan Persegi panjang ke n adalah :

Un = n . n + 1 

Contoh :

Dari suatu barisan bilangan 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , . . . , ke 10 . Berapakah pola bilangan persegi ke 10 ?

Jawab :

Un = n . n+ 1

U10 = 10 . 10 + 1

        = 10 . 11

       = 110

5. Pola Bilangan Segitiga 

Pola bilangan segitiga yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk sebuah pola bilangan segitiga .

• Pola bilangan segitiga adalah : 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , . . .
• Gambar Pola bilangan segitiga :

• Rumus Pola Bilangan Segitiga :

1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , 28 , 36 , . . . , ke n . Maka rumus pola bilangan segitiga ke n adalah : 

Un = 1 / 2 n ( n + 1 ) 

Contoh Soal :

Dari suatu barisan bilangan 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , 28 , 36 , . . . , ke 10 . Berapakah pola bilangan segitiga ke 10 ?

Jawab :

Un = 1/2 n ( n + 1 )

U 10 = 1/2 .10 ( 10 + 1 )

         = 5 ( 11 )  = 55

6. Pola Bilangan FIBONACCI 

Pola bilangan fibonacci yaitu suatu bilangan yang setiap sukunya merupakan jumlah dari dua suku di depanya .

• Pola bilangan fibonacci :

1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 56 , . . .

2 , 2 , 4 , 6 , 10 , 16 , 26 , 42 , . . ..