metode simpleks

Metode Simpleks

4.1    METODE SIMPLEKS

Metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan linear program yang memilki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua, maka untuk menyelesaikannya digunakan Metode Simpleks. Metode simpleks merupakan salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam pemograman linear. Penentuan solusi optimal didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim (ingat solusi grafik) satu per satu dengan cara perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan dengan tahap demi tahap yang disebut iterasi.

4.2    PENGERTIAN ISTILAH DALAM METODE SIMPLEKS

Beberapa Istilah yang digunakan dalam metode simpleks menurut hotniar (2005: 56-57), penjelasannya diantaranya sebagai berikut.

1.     Iterasi, seperti yang disebutkan sebelumnya adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.

2.     Variabel non basis, adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.

3.     Variabel basis, merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan <) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan > atau =). Secara umum, jumlah variabel batas selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif)

4.     Solusi atau Nilai Kanan (NK), merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.

5.     Variabel Slack, adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan < menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.

6.     Variabel Surplus, adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan > menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel bebas.

7.     Variabel Buatan, adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk >atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel ini hanya ada di atas kertas.

8.     Kolom Pivot (Kolom Kerja), adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja).

9.     Baris Pivot (Baris Kerja), adalah salah satu baris dari antara variabel baris yang memuat variabel keluar.

10.  Elemen Pivot (Elemen Kerja), adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.

11.  Variabel Masuk, adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.

12.  Variabel Keluar, variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan dengan variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iterasi dan bernilai 0.

4.3    Langkah Penyelesaian Metode Simpleks, Beberapa ketentuan yang perlu diperhatikan, menurut Abdullah (2009:12) antara lain:

·         Nilai kanan (NK / RHS) fungsi tujuan harus nol (0).

·         Nilai kanan (RHS) fungsi kendala harus positif. Apabila negatif, nilai tersebut harus dikalikan –1.

·         Fungsi kendala dengan tanda “≤” harus diubah ke bentuk “=” dengan menambahkan variabel slack/surplus. Variabel slack/surplus disebut juga variabel dasar.

·         Fungsi kendala dengan tanda “≥” diubah ke bentuk “≤” dengan cara mengalikan dengan –1, lalu diubah ke bentuk persamaan dengan ditambahkan variabel slack. Kemudian karena RHS-nya negatif, dikalikan lagi dengan –1 dan ditambah artificial variabel/variabel buatan (M).

·         Fungsi kendala dengan tanda “=” harus ditambah artificial variabel (M).

4.4    PEMBUATAN TABEL SIMPLEKS

Contoh 4.a, contoh kasus ini diambil dari Abdullah (2009:12):

Z = 3X₁ + 5X₂

Kendala:

1) 2X₁ ≤ 8

2) 3X₂ ≤ 15

3) 6X₁ + 5X₂ ≤ 30

Langkah-langkah:

Mengubah fungsi tujuan dan fungsi kendala (lihat beberapa ketentuan yang harus diperhatikan)

Fungsi tujuan:       Maksimumkan Z = 3X₁ + 5X₂ è Z – 3X₁ – 5X₂ = 0

Fungsi kendala:    1) 2X₁ ≤ 8  => 2X₁ + X₃ = 8

2) 3X₂ ≤ 15 => 3X₂ + X₄ = 15

3) 6X₁ + 5X₂ ≤ 30 => 6X₁ + 5X₂ + X₅ = 30

(X₃, X₄ dan X₅ adalah variabel slack)

Menyusun persamaan-persamaan ke dalam tabel:

Var.Dasar	Z	X1	X2	X3	X4	X5	NK	Index
Z	1	-3	-5	0	0	0	0
X3	0	2	0	1	0	0	8
X4	0	0	3	0	1	0	15
X5	0	6	5	0	0	1	30

Memilih KOLOM KUNCI

Kolom kunci adalah kolom yang mempunyai nilai pada baris Z yang bernilai negatif dengan angka terbesar.

Var.Dasar	Z	X1	X2	X3	X4	X5	NK	Index
Z	1	-3	-5	0	0	0	0
X3	0	2	0	1	0	0	8
X4	0	0	3	0	1	0	15
X5	0	6	5	0	0	1	30

Memilih BARIS KUNCI

Baris kunci adalah baris yang mempunyai indeks terkecil

Var.Dasar	Z	X1	X2	X3	X4	X5	NK	Index
Z	1	-3	-5	0	0	0	0
X3	0	2	0	1	0	0	8
X4	0	0	3	0	1	0	15	5
X5	0	6	5	0	0	1	30	6

Angka Kunci  (-5) 

Mengubah nilai-nilai baris kunci => dengan cara membaginya dengan angka kunci

sehingga tabel menjadi seperti berikut:

Var.Dasar	Z	X1	X2	X3	X4	X5	NK	Index
Z	1	-3	-5	0	0	0	0
X3	0	2	0	1	0	0	8
X2	0	0	1	0	1/3	0	5	5
X5	0	6	5	0	0	1	30	6

Mengubah nilai-nilai selain baris kunci sehingga nilai-nilai kolom kunci (selain baris kunci)=0

Baris Baru = Baris Lama – (Koefisien Angka Kolom Kunci  Nilai Baris Baru Kunci)

Baris Z

Baris lama                        [-3        -5         0          0          0          0 ]

NBBK                    -5         [ 0        1         0          1/3       0          5 ]       

Baris Baru                         -3        0         0          5/3       0          25

Baris X₃

Baris lama                        [ 2        0         1          0          0          8 ]

NBBK                    0          [ 0        1         0          1/3       0          5 ]       

Baris Baru                           2        0         1          0          0          8

Baris X₅

Baris lama                       [ 6        5         0          0          1          30 ]

NBBK                    5          [ 0        1         0          1/3       0          5 ]       

Baris Baru                          6        0         0          -5/3     1          5

Masukkan nilai di atas ke dalam tabel, sehingga tabel menjadi seperti berikut:

Var.Dasar	Z	X1	X2	X3	X4	X5	NK	Index
Z	1	-3	0	0	5/3	0	25
X3	0	2	0	1	0	0	8
X2	0	0	1	0	1/3	0	5	5
X5	0	6	0	0	-5/3	1	5	6

Melanjutkan perbaikan-perbaikan (langkah 3-6) sampai baris Z tidak ada nilai negatif

Var.Dasar	Z	X1	X2	X3	X4	X5	NK	Index
Z	1	-3	0	0	5/3	0	25
X3	0	2	0	1	0	0	8	4
X2	0	0	1	0	1/3	0	5
X5	0	6	0	0	-5/3	1	5	5/6

Var.Dasar	Z	X1	X2	X3	X4	X5	NK	Index
Z	1	0	0	0	5/6	1/2	27 ½		Zmax
X3	0	0	0	1	5/9	-1/3	6 ⅓	4
X2	0	0	1	0	1/3	0	5
X1	0	1	0	0	-5/18	1/6	5/6	5/6

Diperoleh hasil: X₁ = 5/6, X₂ = 5, Z_max = 27 ½

4.1    METODE SIMPLEKS

Metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan linear program yang memilki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua, maka untuk menyelesaikannya digunakan Metode Simpleks. Metode simpleks merupakan salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam pemograman linear. Penentuan solusi optimal didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim (ingat solusi grafik) satu per satu dengan cara perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan dengan tahap demi tahap yang disebut iterasi.

4.2    PENGERTIAN ISTILAH DALAM METODE SIMPLEKS

Beberapa Istilah yang digunakan dalam metode simpleks menurut hotniar (2005: 56-57), penjelasannya diantaranya sebagai berikut.

a.    Iterasi, seperti yang disebutkan sebelumnya adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.

b.    Variabel non basis, adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.

c.    Variabel basis, merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan <) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan > atau =). Secara umum, jumlah variabel batas selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif)

d.    Solusi atau Nilai Kanan (NK), merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.

e.    Variabel Slack, adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan < menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.

f.     Variabel Surplus, adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan > menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel bebas.

g.    Variabel Buatan, adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk > atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel ini hanya ada di atas kertas.

h.    Kolom Pivot (Kolom Kerja), adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja).

i.      Baris Pivot (Baris Kerja), adalah salah satu baris dari antara variabel baris yang memuat variabel keluar.

j.      Elemen Pivot (Elemen Kerja), adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.

k.    Variabel Masuk, adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.

l.      Variabel Keluar, variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan dengan variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iterasi dan bernilai 0.

4.3    Langkah Penyelesaian Metode Simpleks, Beberapa ketentuan yang perlu diperhatikan, menurut Abdullah (2009:12) antara lain:

·      Nilai kanan (NK / RHS) fungsi tujuan harus nol (0).

·      Nilai kanan (RHS) fungsi kendala harus positif. Apabila negatif, nilai tersebut harus dikalikan –1.

·      Fungsi kendala dengan tanda “≤” harus diubah ke bentuk “=” dengan menambahkan variabel slack/surplus. Variabel slack/surplus disebut juga variabel dasar.

·      Fungsi kendala dengan tanda “≥” diubah ke bentuk “≤” dengan cara mengalikan dengan –1, lalu diubah ke bentuk persamaan dengan ditambahkan variabel slack. Kemudian karena RHS-nya negatif, dikalikan lagi dengan –1 dan ditambahartificial variabel/variabel buatan (M).

·      Fungsi kendala dengan tanda “=” harus ditambah artificial variabel (M).

4.4    PEMBUATAN TABEL SIMPLEKS

Contoh 4.a, contoh kasus ini diambil dari Abdullah (2009:12):

Z = 3X₁ + 5X₂

Kendala:

1) 2X₁ ≤ 8

2) 3X₂ ≤ 15

3) 6X₁ + 5X₂ ≤ 30

Langkah-langkah:

Mengubah fungsi tujuan dan fungsi kendala (lihat beberapa ketentuan yang harus diperhatikan)

Fungsi tujuan:       Maksimumkan Z = 3X₁ + 5X₂ è Z – 3X₁ – 5X₂ = 0

Fungsi kendala:    1) 2X₁ ≤ 8  => 2X₁ + X₃ = 8

2) 3X₂ ≤ 15 => 3X₂ + X₄ = 15

3) 6X₁ + 5X₂ ≤ 30 => 6X₁ + 5X₂ + X₅ = 30

(X₃, X₄ dan X₅ adalah variabel slack)

Menyusun persamaan-persamaan ke dalam tabel:

Var.Dasar	Z	X1	X2	X3	X4	X5	NK	Index
Z	1	-3	-5	0	0	0	0
X3	0	2	0	1	0	0	8
X4	0	0	3	0	1	0	15
X5	0	6	5	0	0	1	30

Memilih KOLOM KUNCI

Kolom kunci adalah kolom yang mempunyai nilai pada baris Z yang bernilai negatif dengan angka terbesar.

Var.Dasar	Z	X1	X2	X3	X4	X5	NK	Index
Z	1	-3	-5	0	0	0	0
X3	0	2	0	1	0	0	8
X4	0	0	3	0	1	0	15
X5	0	6	5	0	0	1	30

Memilih BARIS KUNCI

Baris kunci adalah baris yang mempunyai indeks terkecil

Var.Dasar	Z	X1	X2	X3	X4	X5	NK	Index
Z	1	-3	-5	0	0	0	0
X3	0	2	0	1	0	0	8
X4	0	0	3	0	1	0	15	5
X5	0	6	5	0	0	1	30	6

                                                   Angka Kunci                     Koef. Angka Kolom Kunci

Mengubah nilai-nilai baris kunci => dengan cara membaginya dengan angka kunci

sehingga tabel menjadi seperti berikut:

Var.Dasar	Z	X1	X2	X3	X4	X5	NK	Index
Z	1	-3	-5	0	0	0	0
X3	0	2	0	1	0	0	8
X2	0	0	1	0	1/3	0	5	5
X5	0	6	5	0	0	1	30	6

Mengubah nilai-nilai selain baris kunci sehingga nilai-nilai kolom kunci (selain baris kunci)=0

Baris Baru = Baris Lama – (Koefisien Angka Kolom Kunci × Nilai Baris Baru Kunci)

Baris Z

Baris lama                                    [-3        -5         0          0          0          0 ]

NBBK                    -5         [ 0        1         0          1/3       0          5 ]       

Baris Baru                                    -3        0         0          5/3       0          25

Baris X₃

Baris lama                                    [ 2        0         1          0          0          8 ]

NBBK                    0          [ 0        1         0          1/3       0          5 ]       

Baris Baru                                      2        0         1          0          0          8

Baris X₅

Baris lama                                    [ 6        5         0          0          1          30 ]

NBBK                    5          [ 0        1         0          1/3       0          5 ]       

Baris Baru                                     6        0         0          -5/3     1          5

Masukkan nilai di atas ke dalam tabel, sehingga tabel menjadi seperti berikut:

Var.Dasar	Z	X1	X2	X3	X4	X5	NK	Index
Z	1	-3	0	0	5/3	0	25
X3	0	2	0	1	0	0	8
X2	0	0	1	0	1/3	0	5	5
X5	0	6	0	0	-5/3	1	5	6

Melanjutkan perbaikan-perbaikan (langkah 3-6) sampai baris Z tidak ada nilai negatif

Var.Dasar	Z	X1	X2	X3	X4	X5	NK	Index
Z	1	-3	0	0	5/3	0	25
X3	0	2	0	1	0	0	8	4
X2	0	0	1	0	1/3	0	5
X5	0	6	0	0	-5/3	1	5	5/6

Var.Dasar	Z	X1	X2	X3	X4	X5	NK	Index
Z	1	0	0	0	5/6	1/2	27 ½		çZmax
X3	0	0	0	1	5/9	-1/3	6 ⅓	4
X2	0	0	1	0	1/3	0	5
X1	0	1	0	0	-5/18	1/6	5/6	5/6

Diperoleh hasil: X₁ = 5/6, X₂ = 5, Z_max = 27 ½

pengertian himpunan semesta

Memahami Hipunan Semesta dan Himpunan Bagian | Materi Himpunan semesta dan himpunan bagian merupakan salah satu materi dalam ilmu matematika yang dipelajari sejak SD . Himpunan merupakan suatu kumpulan objek atau benda yang dapat di definisikan secara jelas . Didefinisikan secara jelas yaitu jelas keanggotaannya yaitu setiap kita tunjuk objek , kita dapat mengatakan dengan tegas anggotanya atau bukan anggotanya . Lalu apakah yang dimaksud dengan himpunan semesta dan himpunan bagian ? Pada kesempatan kali ini , kita akan mempelajarinya serta memahami bagaimana cara mengerjakan apabila ada suatu permasalahan yang berhubungan dengan himpunan semesta ataupun himpunan bagian .

Himpunan Semesta dan Himpunan Bagian

Sebelum mempelajari himpunan semesta dan himpunan bagian , maka terlebih dahulu mempelajari himpunan bilangan , perhatikan penjelasan di bawah ini .

Himpunan Bilangan meliputi :

a. Himpunan Bilangan Asli ( A )

A = { 1 , 2 , 3 , 4 , . . . . }

advertisements

b. Himpunan Bilangan Cacah ( C )

C = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , . . . .}

c. Himpunan Bilangan Bulat ( B )

B = { . . . ., -3 ,-2 ,-1 , 0 ,1  , 2 , 3 , . . . }

d. Himpunan Bilangan Rasional ( Q )

Q = { x / x = a/b , a dan b ∈ B , b ≠ 0 }

• Dalam ilmu matematika , tidak mempelajari bilangan yang di bagi 0 . , jadi 0 / o dijawab berapapun benar .
• Bilangan Rasional meliputi bilangan bulat dan pecahan .

e. Himpunan Bilangan Prima ( P )

Bilangan prima yaitu bilangan yang tepat dua buah .

P = { 2, 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 . 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 . . . dst }

Cara Menyatakan Himpunan 

Ada tiga macam cara untuk menyatakan himpunan , yaitu :

a. Dengan menggunakan kata – kata

Contoh :

• Himpunan bilangan prima yang kurang dari 10
• Himpunan huruf Vokal

b. Dengan Cara menuliskan anggotanya

Contoh :

• A = { 2 , 3 , 5 , 7 }
• V = { a , i , u , e , o }

c. Dengan Cara menggunakan notasi pembentuk himpunan

Contoh :

A = { x / x < 10 , x bilangan prima }

Jika dibaca adalah A adalah himpunan semua x sedemikian hingga x kurang dari 10 dan x bilangan prima .

Himpuna semesta 

Himpunan semesta yaitu himpunan yang memuat semua anggota yang sedang dibicarakan . Himpunan semesta dilambangkan dengan huruf  ” S ” .

Contoh 1 :

A = { 1 , 2, 3 , 5 , 7 }

B = {  5 , 7 , 9 }

S = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }

Irisan Himpunan (  )

Irisan Himpunan , dimisalkan A    B yang artinya bahwa himpunan yang anggotanya menjadi nggota A , dan sekaligus menjadi anggota B .

Contoh 2:

A = { 1, 2 ,3 , 4 }

B= { 3 , 4 , 5 }

A    B = { 3 , 4 }

Gabungan (  )

Gabungan , dimisalkan A   B Yang artinya bahwa himpunan yang anggotanya menjadi anggota A atau menjadi anggota B .

Contoh 3:

A = { 1, 2 ,3 , 4 }

B= { 3 , 4 , 5 }

A   B = { 1, 2 , 3 , 4 , 5 }

Diagram Venn

Suatu himpunan dapat dinyatakan dalam diagram ven , diagram ven merupakan diagram yang pertama kali dikemukakan oleh ilmuwan asal Inggris yang bernama JHON VENN .

Dalam diagram venn , himpuan semesta dinyatakan dengan benuk persegi panjang . Sedangkan himpunan yang lain , di luar semesta dinyatakan dalam kurva sederhana dan noktah – noktah untuk menyatakan anggotanya . Dan apabila tidak ada himpunan yang sama antara himpuna A dan B , maka lingkaran dalam himpunan semesta tersebut tidak saling berpotongan . Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh di bawah ini

Contoh 4 :

1.) S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }

A = { 1 , 4 , 6 , 7 }

B = { 2 , 4 , 5 , 8 }

A    B = { 4 }

A   B = { 1 , 2 , 4 , 5  , 6 , 7 , 8 }

Maka apabila digambarkan dalam diagram VENN , adalah :

2.) S = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }

 X = { 1, 2 , 4 , 5 }

Y = { 6 , 7 , 8 }

Himpunan Kosong  ( { } )

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota , dan dinotasikan dengan { } atau 

Himpunan kosong ( { } ) , merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan .

Himpunan Bagian  ( ⊂  )

Himpuna bagian dimisalkan dengan A ⊂  B , Artinya jika setiap anggota A ( Semua anggota A ) , Menjadi anggota B .

Contoh 5:

1.) A = { 1 , 2 , 3 }

B = { 0 , 1 ,2 , 3 , 4 }

A ⊂  B , Karena semua anggota A Menjadi anggota B .

2.) P = { a , b , c }

Q = { a , c , d , e , f }

P bukan Himpunan bagian dari Q ( P ⊂ Q ) , Karena ada anggota P yang tidak menjadi anggota Q .

3.) P = { a , b , c } , Tulislah semua himpunan bagian dari P

1. { }
2. { a }
3. { b }
4. { c }
5. { a , b }
6. { a , c }
7. { b , c }
8. { a , b , c }

“Catatan : Setiap himpunan , merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri “

Dari contoh nomor 3 , maka Cara untuk menentukan Banyaknya Himpunan Bagian A , maka Rumusnya adalah :

A  = 2 ^n(A)

Keterangan :

n(A ) = Banyaknya anggota A

Untuk menentukan banyaknya himpunan bagian suatu himpunan ,yaitu dengan menggunakan konsep segitiga pascal . Perhatikan gambar di bawah ini :

4.)  P ={ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } , n ( P ) = 5

a. Tentukan banyaknya himpunan bagian P

b. Tentukan Banyaknya Himpunan Bagian P yang mempunyai 3 anggota .

Penyelesaian :

a. Banyaknya Himpunan Bag. P = 2 ^n(P)

                                                          = 2 ⁵     = 32

b. Banyaknya Himpunan Bagian P yang mempunyai 3 anggota adalah 10  ( caranya melihat segitiga pascal berikut)

Komplemen Suatu Himpunan 

Komplemen suatu himpunan Dimisalkan dengan A^C atau  A^l, yaitu himpunan yang anggotanya adalah anggota S selain anggota  A 

Untuk lebih memahaminya , perhatikan contoh berikut

Contoh 6 :

1.) S = { 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 }

A = { 1 , 2 , 3 , 4 }

Maka dihasilkan A^C  = { 0 , 5 } dan ( A^C )^C  =  { 1 , 2 , 3 , 4 }

atau dengan kata lain ( A^C )^C = A

2.) S = { 0 , 1 , 2 ,3 ,4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }

P = { 2 , 3 , 4 , 5 }

Q = { 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }

Tentukan :

a. P    Q

b. P   Q

c. P^C  

d. Q^C  

e. ( P    Q )^C

f. ( P   Q )^C

g. P^C    Q^C  

h. P^C    Q^C  

Penyelesaian :

a. P    Q = { 4 , 5 }

b. P   Q = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }

c. P^C  = { 0 , 1 , 6 , 7 , 8 , 9 }

d. Q^C   = { 0 , 1 , 2 , 3 , 9 }

e. ( P    Q )^C = { 0 , 1 , 2 , 3 , 6 , 7 , 8 , 9 }

f. ( P   Q )^C = { 0 , 1 , 9 }

g. P^C    Q^C   = { 0 , 1 , 9 }

h. P^C    Q^C   = { 0 , 1 , 2 , 3 , 6 , 7 , 8 , 9 }

Dari Contoh di atas maka , dihaslkan rumus sebagai berikut :

( P    Q )^C   =  P^C    Q^C

( P   Q )^C  =   P^C    Q^C   

          atau 

( A    B )^C   =A^C    B^C

( A   B )^C  =  A^C    B^C