metode sudut

METODE SUDUT

Berikut ini adalah langkah-langkah untuk menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi 0bjektif f(x,y) = ax+by dengan cara uji titik sudut.

Langkah langkahnya :

1.      Buat model matematika daripermasalahan program linier.

2.      Gambarkan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier pada model matematika tersebut. Kemudian, tentukan titik-titik sudut pada daerah himpunan penyelesaiannya.

3.      Hitunglah nilai fungsi objektif f(x,y) = ax + by pada setiap titik sudut tersebut. Nilai terbesar yang diperoleh merupakan nilai maksimumnya, sedangkan nilai terkecil merupakan nilai minimumnya.

A.    Menentukan nilai yang memaksimumkan fungsi objektif

Contoh:

Tentukan nilai maksimum dari 5x + 5y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaam

 x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 10, x + 2y ≤ 8.

Jawab:

Langkah 1 : Membuat model matematika

·         Kendala : 2x + y ≤ 10

                x + 2y ≤ 8

                x ≥ 0

                y ≥ 0

·         Fungsi objectif

Z = (x,y) = 5x + 5y

      Langkah 2: Menggambar daerah himpunan penyelesaian

Dari model matematika tersebut didapat daerah himpunan penyelesaian, umpamakan titik E adalah kordinat titik potong kedua garis, diperoleh dengan cara sebagai berikut.

2x + y = 10   x2     4x + 2y = 20

 x + 2y = 8   x1      x + 2y = 8

                                      3x = 12

                                        x = 4

selanjutnya, substitusikan nilai x = 4 ke persamaan x + 2y = 8 sehingga di peroleh

           x + 2y = 8

           4 + 2y = 8          Jadi Kordinat titik E adalah (4,2)

                   y = 2

Langkah 3 : menghitung nilai fungsi objektif pada setiap titik sudut.

Titik titik sudut yang erdapat pada daerah himpunan penyelesaian tersebut adalah 0 (0,0), D (5,0),  E(4,2), dan F (0,4).

Nilai fungsi objektif dari keempat titik tersebut ditampilkan pada tabel berikut

Titik sudut	Nilai fungsi objekti z = 5x + 5y
O (0,0)	0
D (5,0)	5(5) + (0) = 25
F (0,4)	5(0) + 5 (4) = 20

Dari tabel tersebut, nilai maksimum fungsi z = f (x,y) = 5x + 5y adalah 30. Nilai ini dicapai pada titik (4,2)

  

Contoh 2 :

Sebuah pesawat terbang untuk penerbangan domestik mempunyai kaasitas tempat duduk tidak lebih dari 50 orang. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa barang hingga 30 kg, sedangkan penumpang kelas ekonomi boleh membawa barang hingga 20 kg. Pesawat tersebut mempunyai kapasitas bagasi tidak lebih dari 1.200 kg. Jika harga tiket untuk kelas utama Rp1500.000,00 dan kelas ekonomi Rp110.000,00. Tentukan banyaknya penumpang pada setiap kelas agar hasil penjualan tiket maksimum.

Jawab:

Langkah 1: membuat model matematika.

Misalkan, banyaknya penumpang kelas utama x orang dan kelas ekonomi y orang. Model matematika untuk masalah tersebut adalah sebagai berikut.

·         Kendala: x + y  ≤ 50

          30x + 20y ≤ 1200  ↔ 3x + 2y ≤ 120

           x ≥ 0

           y ≥ 0

·         Fungsi objektif:

z = f(x,y) = 150.00x + 110.000y

Langkah 2: menggambar daerah himpunan penyelesaian.

Dari model matematika tersebut, di dapat darerah himpunan penyelesaian, seperti pada gambar.

Titik B adalah kordinat titik potong kedua garis. Kordinat B diperoleh dengan cara sebagai berikut.

3x + 2y = 120 /x1  /   3x + 2y = 120

x + y    =  50 /  x2 /    2x + 2y = 100

                                       x = 20

selanjutnya, substitusikan nilai x = 20 ke persamaan x + y = 50 sehingga diperoleh

    x+y = 50 ↔ 20 + y = 50

                    ↔ y = 30

Jadi, kordinat titik B adalah (20,30).

                     

Langkah 3 : menghitung nilai fungsi objektif pada setiap titik sudut.

Titik-titik sudut yang terdapat pada daerah himpunan penyelesaian tersebut adalah 0 (0,0), A(40,0), B(20,30), dan C(0,50. Nilai fungsi objektif dari keempat titik tersebut di tampilkan pada tabel berikut.

Titik sudut	Nilai  fungsi objektif Z = 150.000x + 110.000y
0(0,0) A(40,0) B(20,30) C(0,50)	0 150.000(40) + 110.000(0) = 6.000.000 150.000(20) + 110.000(30) = 6.300.000 150.000(0) + 110.000(50) = 5.500.000

 

Dari tabel tersebut, diperoleh hasil penjualan tiket maksimum sebesar Rp6.300.000,00 yang di dapatkan jika bayaknya penumpang kelas utama 20 orang dan penumpang kelas ekonomi 30 orang.

      

  

distribusi binomial

PENGGUNAAN DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT

3.1 Distribusi Binomial

Suatu peristiwa atau kejadian disebut sebagai peristiwa Binomial apabila peristiwa tersebut mempunyai dua kemungkinan yaitu sukses/berhasil/baik dan gagal/tidak baik dan dilakukan minimal dua kali. Jika kejadian tersebut dilakukan hanya satu kali saja, maka disebut peristiwa Bernoulli. Jika suatu variable random X berdistribusi Bernoulli, ditulis sebagai  dengan fungsi distribusi peluangnya adalah . Selanjutnya suatu variable random X berditribusi Binomial ditulis sebagai  dengan fungsi distribusi peluangnya adalah 

Contoh 1 :                                  

Peluang bahwa sejenis komponen tertentu yang akan bertahan terhadap sebuah uji-kejut adalah ¾. Carilah peluang di mana 2 dari 4 komponen yang selanjutnya diuji akan bertahan.

Penyelesaian :

Dengan mengasumsikan bahwa pengujian tersebut bebas dan p = ¾ untuk masing-masing dari ke-empat pengujian tersebut, maka diperoleh :

Contoh 2 :

Peluang bahwa seorang pasien sembuh dari penyakit darah yang langka adalah 0.4. Bila 15 orang diketahui telah terkena penyakit ini, berapakah peluangnya (a) paling tidak 10 selamat, (b) dari 3 sampai 8 selamat ?

Penyelesaian :

Misalkan X merupakan orang yang selamat, maka

(a)    

(b)   ,

Catatan :

Mean dan variansi dari variable random  adalah  dan  (buktikan!)

3.2 Percobaan Multinomial

Percobaan Binomial menjadi suatu percobaan multinomial bila kita membuat setiap percobaan lebih dari 2 keluaran yang mungkin. Jika suatu percobaan dapat menghasilkan k keluaran  dengan peluang sukses , maka distribusi peluang variable random  adalah

Dengan     dan    

Contoh 3 :

Bila sepasang dadu dilemparkan 6 kali, berapakah peluangnya mendapatkan suatu total 7 atau 11 sebanyak dua kali, pasangan angka yang sama satu kali dan sebarang gabungan lainnya sebanyak 3 kali ?

Penyelesaian :

Misalkan = sbuah total 7 atau 11 muncul, = pasangan angka yang sama muncul dan = bukan angka sama atau bukan total 7 atau 11 yang muncul

Maka = 2/9 , = 1/6 dan =11/18. Nilai-nilai ini konstan untuk ke-enam percobaan tersebut. Dengan menggunakan distribusi multinomial dengan =2 , =1 dan = 3 maka peluangyang diperlukan adalah :

3.3. Distribusi Hipergeometri

Diskusikan dengan kelompok saudara tentang : (1) perbedaan distribusi Binomial dan distribusi Hipergeometri, (2) fungsi padat peluangnya, (3) mean (4) variansi (5) buat sebuah contoh peristiwa/percobaan Hipergeometri dan selesaikan.

3.4 Bistribusi Binomial Negatif

Peristiwa atau percobaan Binomial tetapi diulangi sampai sejumlah sukses yang tetap, sehingga dapat ditemukan x sukses dari n percobaan yaitu sukses ke-k terjadi pada saat percobaan ke-x, maka peristiwa tersebut dikenal sebagai peristiwa Binomial Negatif.

Sebagai contoh misalkan penggunaan sebuah obat yang dikenal efektif dalam 60% kasus di mana obat tersebut digunakan. Penggunaannya akan dianggap sukses bila obat tersebut efektif menyembuhkan dalam tingkatan tertentu kepada pasien. Kita tertarik atas penemuan peluang di mana pasien kelima yang keadaannya membaik (sukses) meupakan pasien ketujuh yang menerima obat tersebut selama minggu yang ditentukan. Dengan menandai S sebagai sukses dan F sebagai gagal, maka salah satu urutan yang mungkin dalam pencapaian hasil yang diinginkan adalah SFSSFSS dengan peluang (0.6)(0.4)(0.6)(0.6)(0.4)(0.6)(0.6)=  

Bila percobaan yang bebas berulang dapat menghasilkan sebuah sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi peluang dari variable random X dengan jumlah percobaan di mana sukses ke – k terjadi adalah :

Contoh 4 :

Tentukan peluang bahwa seseorang yang melempar 3 koin akan mendapatgambar semua atau angka semua untuk kali kedua pada pelemparan yang kelima

Penyelesaian :

Ditanyakan sukses kedua dari lemparan kelima, sehingga k = 2 dan x = 5, dengan peluang sukses adalah 1/4. Peristiwa tersebut adalah peristiwa Binomial Negatif, sehingga peluangnya       

3.5 Distribusi Geometri

Apabila pecobaan bebas berulang dapat menghasilkan suatu sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi variable random X dengan jumlah percobaan di mana sukses pertama terjadi dikenal sebagai distribusi Geometri dengan distribusi peluangnya adalah 

Contoh 5 :

Dalam suatu proses produksi tertentu diketahui bahwa secara rata-rata, 1 dalam setiap 100 barang adalah cacat. Berapakah peluang bahwa barang kelima yang diperiksa merupakan barang cacat pertama yang ditemukan?

Penyelesaian :

Ditanyakan peluang barang kelima yang diperiksa, maka x = 5 dan peluang mendapat cacat adalah 0.01. Peristiwa di atas termasuk peristiwa Geometri, sehingga peluangnya adalah 

Catatan :

Mean dan variansi variable random X yang berdistribusi Geometri adalah dan 

3.6 Distribusi Poisson

Beberapa sifat suatu proses Pisson adalah :

1.      Tidak mempunyai memori

2.      Peluang bahwa sebuah keluaran tunggal akan terjadi selama waktu tertentu sebanding dengan lama selang waktunya dan tidak bergantung pada jumlah keluaran yang terjadi di luar selang waktu tsb.

3.      Peluang bahwa lebih dari satu keluaran akan terjadi di dalam suatu selang waktu yang singkat dapat diabaikan.

Distribusi peluang variable random Poisson X yang mewakili jumlah keluaran yang terjadi di dalam suatu selang waktu yang diketahui atau daerah yang ditentukan dan ditunjukkan oleh t adalah :

dengan  adalah rata-rata jumlah keluaran per waktu atau daerah satuan dan e = 2.71828……

Contoh 6 :

Rata-rata jumlah kapal tangki minyak yang datang setiap hari di sebuah tempat tertentu adalah 10 kapal. Fasilitas pada pelabuhan itu dapat menangani paling banyak 15 kapal tangki per hari. Berapa peluang pada suatu hari yang diketahui, tanker-tanker harus berbalik arah?

Penyelesaiaan :

Misalkan X adalah jumlah kapal tangki yang datang setiap hari, maka

Contoh 7 :

Selama percobaan laboratorium jumlah rata-rata partikel radioaktif yang melewati suatu pencacah dalam 1 milidetik adalah 4. Berapakah peluang 6 partikel memasuki pencacah tersebut dalam suatu milidetik yang diketahui?

Penyelesaian :

Diketahui bahwa x = 6 dan , maka 

Catatan :

1.      Mean dan variansi dari distribusi Poisson adalah .

2.      Jika X adalah sebuah variable random Binomial dengan distribusi peluang , dan jika  ,  dan  konstan, maka 

Contoh 8 :

Di dalam proses produksi di mana produk kaca dihasilkan, terjadi cacat atau gelembung yang kadang-kadang menyebabkan produk yang tidak diinginkan untuk pemasaran. Diketahui bahwa rata-rata, 1 dalam setiap 1000 barang yang dihasilkan ini mempunyai satu gelembung atau lebih. Berapakah peluang sebuah sampel random yang berisi 8000 akan membuahkan kurang dari 7 barang mempunyai gelembung?

Penyelesaian :

Ini adalah sebuah percobaan Binomial dengan n = 8000 dan p = 0.001. karena p sangat mendekati nol dan n sangat besar, kita akan memperkirakannya dengan distribusi Poisson dengan menggunakan 

Sehingga bila X mewakili jumlah gelembung, kita dapatkan

sejarah angka nol

SEJARAH MATEMATIKA

Sejarah Angka Nol
      Al-Khawarizmi dikenal sebagai bapak Aljabar memperkenalkan bilangan nol (0), dan penerjemah karya-karya Yunani kuno. Kisah angka nol Konsep bilangan nol telah berkembang sejak zaman Babilonia danYunani kuno, yang pada saat itu diartikan sebagai ketiadaan dari sesuatu. Konsep bilangan nol dan sifat-sifatnya terus berkembang dari waktu ke waktu. Hingga pada abad ke-7, Brahmagupta seorang matematikawan India memperkenalkan beberapa sifat bilangan nol. Sifat-sifatnya adalah suatu bilangan bila dijumlahkan dengan nol adalah tetap, demikian pula sebuah bilangan bila dikalikan dengan nol akan menjadi nol. Tetapi, Brahmagupta menemui kesulitan, dan cenderung ke arah yang salah, ketika berhadapan dengan pembagian oleh bilangan no,l “sebuah bilangan dibagi oleh nol adalah tetap”. Tentu saja ini suatu kesalahan fatal. Tetapi, hal ini tetap harus sangat dihargai untuk ukuran saat itu

      Ide-ide brilian dari matematikawan India selanjutnya dipelajari oleh matematikawan Muslim dan Arab. Hal ini terjadi pada tahap-tahap awal ketika matematikawan Al-Khawarizmi meneliti sistem perhitungan Hindu (India) yang menggambarkan sistem nilai tempat dari bilangan yang melibatkan bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Al-Khawarizmi adalah yang pertama kali memperkenalkan penggunaan bilangan nol sebagai nilai tempat dalam basis sepuluh. Sistem ini disebut sebagai sistem bilangan decimal.Selain itu Al Khawarizmi merupakan penulis kitab aljabar (matematika) pertama di muka bumi. Beliau juga seorang ilmuan jenius pada masa keemasan Baghdad yang sangat besar sumbangsihnya terhadap ilmu aljabar dan aritmetika. Karyanya, Kitab Aljabr Wal Muqabalah (Pengutuhan Kembali dan Pembandingan) merupakan pertama kalinya dalam sejarah dimana istilah aljabar muncul dalam kontesk disiplin ilmu. Nama aljabar diambil dari bukunya yang terkenal tersebut. Karangan itu sangat populer di negara-negara barat dan diterjemahkan dari bahasa Arab ke bahasa Latin dan Italia. Bahasan yang banyak dinukil oleh ilmuwan barat dari karangan Al-Khawarizmi adalah tentang persamaan kuadrat. Sumbangan Al-Khwarizmi dalam ilmu ukur sudut juga luar biasa. Tabel ilmu ukur sudutnya yang berhubungan dengan fungsi sinus dan garis singgung tangen telah membantu para ahli Eropa memahami lebih jauh tentang ilmu ini. Ia mengembangkan tabel rincian trigonometri yang memuat fungsi sinus, kosinus dan kotangen serta konsep diferensiasi.Karya-karya al-Khawarizmi di bidang matematika sebenarnya banyak mengacu pada tulisan mengenai aljabar yang disusun oleh Diophantus (250 SM) dari Yunani. Namun, dalam meneliti buku-buku aljabar tersebut, al-Khawarizmi menemukan beberapa kesalahan dan permasalahan yang masih kabur. Kesalahan dan permasalahan itu diperbaiki, dijelaskan, dan dikembangkan oleh al-Khawarizmi dalam karya-karya aljabarnya. Oleh sebab itu, tidaklah mengherankan apabila ia dijuluki ”Bapak Aljabar.”Di bidang ilmu ukur, al-Khawarizmi juga dikenal sebagai peletak rumus ilmu ukur dan penyusun daftar logaritma serta hitungan desimal. Namun, beberapa sarjana matematika Barat, seperti John Napier (1550–1617) dan Simon Stevin (1548–1620), menganggap penemuan itu merupakan hasil pemikiran mereka. Selain matematika, Al-Khawarizmi juga dikenal sebagai astronom. Di bawah Khalifah Ma’mun, sebuah tim astronom yang dipimpinnya berhasil menentukan ukuran dan bentuk bundaran bumi. Penelitian itu dilakukan di Sanjar dan Palmyra. Hasilnya hanya selisih 2,877 kaki dari ukuran garis tengah bumi yang sebenarnya. Sebuah perhitungan luar biasa yang dapat dilakukan pada saat itu. Al-Khawarizmi juga menyusun buku tentang penghitungan waktu berdasarkan bayang-bayang matahari.
      Setelah al-Khawarizmi meninggal, keberadaan karyanya beralih kepada komunitas Islam. Yaitu, bagaimana cara menjabarkan bilangan dalam sebuah metode perhitungan, termasuk dalam bilangan pecahan; suatu penghitungan Aljabar yang merupakan warisan untuk menyelesaikan persoalan perhitungan dan rumusan yang lebih akurat dari yang pernah ada sebelumnya. Di dunia Barat, Ilmu Matematika lebih banyak dipengaruhi oleh karya al-Khawarizmi dibanding karya para penulis pada Abad Pertengahan. Masyarakat modern saat ini berutang budi kepada al-Khawarizmi dalam hal penggunaan bilangan Arab. Notasi penempatan bilangan dengan basis 10, penggunaan bilangan irasional dan diperkenalkannya konsep Aljabar modern, membuatnya layak menjadi figur penting dalam bidang Matematika dan revolusi perhitungan di Abad Pertengahan di daratan Eropa. Dengan penyatuan Matematika Yunani, Hindu dan mungkin Babilonia, teks Aljabar merupakan salah satu karya Islam di dunia Internasional.

      Implikasi:Berkat penemuan angka nol, maka dunia matematika dijaman sekarang semakin maju, misalnya dengan ditemokan berbagai rumus seperti rumus sinus, cosinu, tangent ataupun rumus trigonometi. Selain dalam dunia matematika penemuan angka nol ternyata sangat mempengaruhi dunia tegnologi khususnya computer/ digital yaitu ditemukannya gerbang logika dan kode ASCII.Gerbang logika atau sering juga disebut gerbang logika Boolean merupakan sebuah sistem pemrosesan dasar yang dapat memproses input-input yang berupa bilangan biner menjadi sebuah output yang berkondisi yang akhirnya digunakan untuk proses selanjutnya. Gerbang logika dapat mengkondisikan input – input yang masuk kemudian menjadikannya sebuah output yang sesuai dengan apa yang ditentukan olehnya. Terdapat tiga gerbang logika dasar, yaitu : gerbang AND, gerbang OR, gerbang NOT. Ketiga gerbang ini menghasilkan empat gerbang berikutnya, yaitu : gerbang NAND, gerbang NOR, gerbang XOR, gerbang XAND.Rangkaian aritmatika dasar termasuk kedalam rangkaian kombinasional yaitu suatu rangkaian yang outputnya tidak tergantung pada kondisi output sebelumnya, hanya tergantung padapresent state dari input. Dari gerbang logika tersebut bisa dikembangkan menjadi berbagai macam tegnologi mulai dari teknologi sederhana seperti stopwatch, jam, hingga dunia internet, satelit, pesawat terbang, dan sebagainya. Semua itu tidak akan luput dari peran serta gerbang-gerbang logika ini.Angka nol juga berperan dalam ditemukannyan kode ASCII, yaitu kode Standar Amerika untuk Pertukaran Informasi atau ASCII (American Standard Code for Information Interchange) merupakan suatu standar internasional dalam kode huruf dan simbol seperti Hex dan Unicode tetapi ASCII lebih bersifat universal, contohnya 124 adalah untuk karakter “|”. Ia selalu digunakan oleh komputer dan alat komunikasi lain untuk menunjukkan teks. Kode ASCII sebenarnya memiliki komposisi bilangan biner sebanyak 8 bit. Dimulai dari 0000 0000 hingga 1111 1111. Total kombinasi yang dihasilkan sebanyak 256, dimulai dari kode 0 hingga 255 dalam sistem bilangan Desimal(ASCII)American Standard Code for Internation Interchange. Biasanya disingkat dengan ASCII. Suatu kode skema yang menggunakan 7 atau 8 bit, yang memberikan lambang sebanyak 256 jenis karakter. Di dalam karakter-karakter ini, telah termasuk di dalamnya huruf, angka, lambang-lambang khusus, kode kontrol perintah, serta kode lainnya. ASCII ini didevelop pada tahun 1968, yang merupakan standar untuk transmisi data antara software dan hardware. ASCII ini digunakan dalam dikebanyakan komputer mini, dan di seluruh komputer pribadi. Standar yang berlaku di seluruh dunia untuk kode berupa angka yang merepresentasikan karakter-karakter, baik huruf, angka, maupun simbol yang digunakan oleh komputer. Terdapat 128 karakter standar ASCII yang masing-masing direpresentasikan oleh tujuh digit bilangan biner mulai dari 0000000 hingga 1111111.format yang banyak digunakan untuk file teks di dalam dunia komputer dan internet. Di dalam file ASCII, masing-masing alphabetic, numeric, atau karakter khusus direpresentasikan dalam 7-bit bilangan biner (kumpulan dari nol atau satu sebanyak tujuh angka). Karakter dalam kode ASCII dibagi dalam beberapa group yaitu : control character, angka, huruf besar, huruf kecil, dan tanda baca (pada tabel tidak begitu jelas). Control-character ini sering disebut sebagai non-printable-character, yaitu karakter yang dikirim sebagai tahap awal (pengenalan) dalam berbagai kegunaan komunikasi data, misalnya sebelum informasi dikirim dari PC ke printer.Dengan kumpulan bit ini terdapat sebanyak 128 character yang bisa didefinisikan. Sistem operasi berbasis Unix dan DOS menggunakan ASCII untuk file teks, sedangkan Windows NT dan 2000 menggunakan kode yang lebih baru yang dikenal dengan istilah unicode. Sistem yang dikeluarkan oleh IBM menggunakan data yang dibentuk dari 8 bit, yang disebut dengan EBCDIC. 

§  

Pengertian Himpunan

PENGANTAR DASAR MATEMATIKA

HIMPUNAN

A.Pengertian  Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Anggota himpunan disebut anggota atau elemen himpunan.

Contoh:

·         A adalah himpunan nama kota di Jawa Tengah. Anggota himpunan A adalah Purwokerto, Semarang, Kebumen, Solo, dan lain-lainnya.

·         B adalah himpunan bilangan bulat lebih dari -3. Anggota himpunan B adalah bilangan -2,-1,0,1,2,3, ...

B. Notasi Himpunan

Penulisan himpunan ditandai dengan adanya kurung kurawal {}. Penulisan himpunan berkelanjutan dituliskan menggunakan tanda titik sebanyak tiga buah (...) untuk mengganti anggota himpunan lain yang tidak dapat dituliskan satu persatu.
Misalkan A adalah suatu himpunan, maka bilangan yang menyatakan banyak anggota himpunan A disebut bilangan kardinal. Banyaknya anggota suatu himpunan A dituliskan dengan n(A).

Misalnya, himpunan A = {1,2,3,4,5,6}, maka banyaknya himpunan A atau n(A) = 6.

C.Jenis-jenis Himpunan

Himpunan ada bermacam-macam. Misalnya, himpunan nol, himpunan kosong, himpunan berhingga, himpunan tak berhingga, himpunan sama, himpunan ekuivalen, dan himpunan semesta.

1. Himpunan Nol dan Himpunan Kosong

Himpunan nol adalah himpunan yang hanya memiliki satu anggota yaitu nol. Himpunan nol dilambangkan dengan {0}. Contoh: himpunan bilangan cacah yang anggotanya kurang dari satu, anggotanya hanya satu yaitu 0.

·         himpunan mahluk hidup yang tidak memerlukan oksigen.

·         himpunan bilangan negatif lebih dari satu.

2. Himpunan Terhingga dan Tidak Terhingga

Himpunan terhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat dihitung. Contoh: himpunan bilangan cacah kurang dari 5, yaitu {0,1,2,3,4} dengan banyak anggota 5.

Himpunan tak terhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya tidak dapat dihitung. Contoh: himpunan bilangan bulat.

3. Himpunan Sama dan Himpunan Ekuivalen.

Himpunan A dan B dikatakan himpunan sama bila setiap anggota himpunan A dan B adalah sama, dituliskan A = B.

Contoh:

·         C = {d,a,p,u,r}

·         D = {p,u,d,a,r}

Setiap anggota himpunan C merupakan anggota himpunan D, berlaku sebaliknya. Dengan demikian, himpunan C = D.

Himpunan P dan Q dikatakan ekuivalen jika banyaknya anggota P sama dengan banyaknya anggota himpunan Q atau n(P) = n(Q),
Contoh:

·         R = {1,2,3,4,5}, n(R) = 5

·         S = {a,i,u,e,o}, n(S) = 5

Karena n(R) = n(S), maka himpunan R ekuivalen dengan himpunan S

4. Himpunan Semesta
     Himpunan Semesta adalah himpunan yang memuat seluruh anggota himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga himpunan universum, yang dilambangkan S.
Contoh:
A = {-2,-1,0,1,2}. Berarti himpunan semesta untuk A adalah S ={bilangan bulat}, atau S = {bilangan bulat kurang dari 3}

by : Amelia Filar Permata (4a)

persamaan differensial

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Banyak masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan dalam persamaan diferensial. Untuk menyelesaikannya masalah tersebut kita perlu menyele-saikan pula persamaan diferensialnya. Dalam bab ini persamaan diferensial yang diberi-kan dibatasi pada persamaan diferensial tingkat satu khususnya sampai persamaan dife-rensial eksak.

                 

Pengertian Persamaan Diferensial

Secara matematis, persamaan differensial adalah persamaan yang didalamnya terdapat turunan-turunan. Secara fisis, persamaan differensial adalah persamaan yang menyatakan hubungan antara turunan (derivative) dari satu variabel tak bebas terhadap satu/lebih variabel bebas.

Banyak permasalahan dalam berbagai bidang teknik, fisika maupun bidang – bidang kehayatan yang dapat dimodelkan ke dalam bentuk persamaan diferensial. Berikut diberikan beberapa contoh fenomena di alam yang dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial.

 

Berdasarkan banyaknya variabel bebas, Persamaan Differensial dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu:

1.      Persamaan Differensial Biasa, yaitu persamaan differensial yang mengandung hanya satuvariabel bebas

 2.  Persamaan Differensial Parsial, yaitu persamaan differensial yang mengandung lebih dari satu variabel bebas.

Definisi : Tingkat (Ordo) suatu PD adalah tingkat turunan tertingi yang terlibat dalam PD tersebut.

Derajat (degree) suatu PD adalah pangkat dari turunan ordo tertinggi jika PD tersebut ditulis sebagai polinomial dalam turunan.

Definisi :Suatu persamaan yang tidak lagi memuat turunan dan memenuhi satu  persa-maan differesial  disebut penyelesaian persamaan differensial.

Penyelesaian suatu persamaan diferensial dibedakan menjadi 2 yaitu :

a.      Penyelesaian Umum Persamaan Differensial (PUPD), adalah selesaian PD yang masih memuat memuat konstanta penting (konstanta sebarang).

b.      Penyelesaian Partikulir/Khusus Persamaan Differensial (PPPD/PKPD),  adalah selesaian PD yang diperoleh dari PUPD dengan mengganti konstanta penting dengan konstanta yang memenuhi syarat awal atau syarat batas.

Persamaan Differensial Terpisah Dan Mudah  Dipisah

Bentuk Umum PD dengan variable terpisah :

f(x) dx + g(y) dy = 0

Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh PUPD  :

Penyelesaian :