variabel random dan distribusi peluang

VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSI PELUANG

1.1  Konsep Variabel Random

Variable random adalah suatu fungsi yang menghubungkan sebuah bilangan real dengan setiap anggota di dalam ruang sampel. Notasi yang biasa digunakan untuk menyatakan suatu variable random ditulis dengan huruf besar, seperti X menyatakan suatu variable random dan x adalah untuk salah satu dari nilainya.

Jika suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan berhingga atau urutan yang tidak terbatas dengan anggota sebanyak jumlah bilangan bulat, maka ruang sampel ini disebut ruang sampel diskrit. Bila suatu ruang sampel berisi jumlah kemungkinan tak berhingga yang sama dengan titik-titik di dalam sebuah segmen garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel kontinu.

Sebuah variable random diskrit diperoleh sebagai hasil kegiatan menghitung, sehingga anggotanya berhingga. Sedangkan variable random kontinu diperoleh sebagai hasil kegitan mengukur, sehingga anggotanya tak berhingga.

Untuk suatu ruang peluang (S, A, P( )), suatu variabel random univariat, ditulis X atau  X(•), adalah fungsi berharga nyata yang didefinisikan pada S.

Jika harga-harga variabel random diskrit, maka disebut variabel random diskrit. Sedangkan jika harga-harga variabel randomnya kontinu, maka disebut variabel random kontinu.

Contoh 1 :

Jika suatu eksperimen adalah melempar sebuah mata uang n kali, maka

X   = banyaknya gambar yang tampak adalah suatu  variabel random (univariat) diskrit dengan

 x  = Harga-harga  yang  mungkin dari X = 0, 1, 2,...,n.

Y   = Banyaknya  angka  yang  tampak  adalah  suatu  variabel random diskrit dengan y = 0, 1, 2,

Contoh 2 :

Jika suatu eksperimen adalah saelempar aebuah dadu diia kali, maka,

X   = Jumlah hasil lemparan pertama dan kedua  adalah suatu variabel random diskrit dengan x = 2, 3, 4, …,12.

Y   = harga mutlak selisih hasil lemparan pertama dan kedua adalah suatu variabel random diskrit dengan y  = 0, 1, 2, . . .,5.

 bukan suatu variabel random, sebab  tidak dapat didefinisikan.

Contoh 3 :

Jika suatu eksperimen adalah mengamati seorang mahasiswa, maka

X = tinggi badan adalah suatu variabel random kontinu,

Y = berat badan adalah suatu variabel random kontinu.

Jika dan X₂ adalah variabel random-variabel random univariat yang didefinisikan dalam ruang peluang yang sama,  maka pasangan (X₁,X₂)  adalah suatu variabel random bivariat.

Contoh 4 :

Jika sebuah dadu dilempar dua kali dan X₁ = hasil lemparan ke-i , i = 1, 2, maka (X_1,X₂) adalah suatu variabel random bivariat.

Jika suatu eksperimen adalah mengamati seorang mahasiswa dengan X₁ = tinggi badan dan X₂ = berat badan, maka (X₁.X₂) adalah suatu variabel random bivariat.

Jika  X₁, X₂, ... ,X_n  adalah  variabel random-variabel random univariat yang didefinisikan dalam ruang  peluang  yang  sama, maka (X₁, X_2,...X_n) adalah suatuvariabel random multivariat.

Contoh 5 :

1.      Jika seorang dokter memeriksa 10 orang pasien dan X_i = hasil pemeriksaan tekanan darah pasien ke-i , i = 1, 2,...,10, maka ( X₁, X₂, . . . , X₁₀) adalah suatu variabel random multivariat.

2.      Jika 10 bola lampu diperiksa apakah rusak = R atau baik = B dan X_i = hasil pemeriksaan bola lampu ke-i, maka ( X₁, X₂,..., X₁₀) akan menjadi suatu variabel random multivariat,hanya jika R diganti 0 atau 1 dan B diganti 1 atau 0.

1.2  Distribusi Peluang Diskrit

Seperti kita ketahui bahwa setiap variable random diskrit masing-masing nilainya memiliki suatu peluang tertentu. Untuk menyajikan semua peluang dari suatu variable random X dinyatakan dengan suatu rumus. Rumus tersebut akan menjadi fungsi suatu nilai numeric x yang akan kita nyatakan dengan f(x), g(x), r(x) dan seterusnya. Oleh karena itu, kita tulis f(x)=P (X = x)  seperti f(3) = P(X = 3).

Himpunan pasangan berurutan (x, f(x) ) adalah sebuah fungsi peluang dari variable random diskrit X bila untuk setiap nilai x yang mungkin ; (1) f(x) ≥ 0 , (2)  = 1, (3) P(X = x) = f(x)

Contoh 1 :

Sebuah pengiriman 8 computer  ke suatu jaringan eceran berisi 3 buah cacat. Bila suatu sekolah melakukan pembelian random 2 dari computer  ini, carilah distribusi peluang untuk jumlah cacat

Penyelesaian :

Misalkan X sebagai variable random dengan nilai x adalah jumlah computer cacat yang mungkin terbeli. Maka x bisa merupakan bilangan 0, 1 dan 2. Selanjutnya

Sehingga distribusi peluang dari X adalah

x	0	1	2
f(x)

Definisi :

Jika X suatu variable random, maka fungsi distribusi kumulatifnya (cdf) didefinisikan sebagai  untuk , dengan sifat-sifat sebagai berikut :

a.       F(x) adalah fungsi monoton naik

b.      

c.       F(x) kontinu dari kanan

Contoh 2 :

Jika X suatu variable random yang berdistribusi uniform diskrit, maka fungsi distribusi peluangnya adalah f( x ) = 1 untuk x = 0, 1. Tentukan fungsi distribusi kumulatifnya atau fungsi distribusinya.

Penyelesaian :

F( x ) = 0 untuk x < 0

F ( x ) = 

F ( x ) = 1 untuk 

Sehingga 

1.3  Distribusi Peluang Kontinu

Variable random kontinu mempunyai peluang nol untuk memiliki secara tepat nilainya yang manapun. Akibatnya distribusi peluangnya tidak dapat diberikan dalam bentuk table. Meskipun demikian, peluang tersebut dapat dinyatakan dalam suatu rumus, yang akan menjadi suatu fungsi nilai numeric dari variable random X dan akan disajikan dengan tanda fungsional f(x) dan disebut sebagai fungsi densitas atau fungsi padat peluang. Fungsi densitas dibangun sedemikian rupa sehingga luas di bawah kurva yang dibatasi oleh sumbu X adalah sama dengan 1 bila dihitung pada jangkauan X dimana f(x) ditentukan.

Fungsi f(x) adalah suatu fungsi densitas bagi variable random kontinu X, yang didefinisikan pada himpunan bilangan real R, bila (1) f(x) ≥ 0 untuk semua x € R, (2) , (3) P(a < X < b ) = 

Contoh 3 :

Andaikan bahwa kesalahan dalam temperature reaksi dalam ◦C, untuk sebuah percobaan laboratorium yang diatur merupakan suatu variable random kontinu X yang mempunyai fungsi densitas

Tentukan P(0 ≤ X ≤ 1) !

Penyelesaian :

                                                 

Distribusi kumulatif F(x) dari suatu variable random X dengan fungsi densitas f(x) adalah

  untuk                     

Sebagai konsekuensi langsung dari rumus di atas adalah

P(a < X < b) = F(b) – F(a) dan 

Contoh 4 :

Dengan menggunakan fungsi densitas pada contoh 3, carilah F(x)

Penyelesaian :

Untuk -1 <  x < 2

Contoh 5 :

Jika X adalah suatu variabel kontinu dengan f( x ) =1 untuk 0 < x < 1, maka fungsi distribusinya adalah

Untuk x < 0 maka 

Untuk  maka 

Untuk  maka 

Sehingga 

1.4  Distribusi Peluang Gabungan

Fungsi f(x,y) merupakan distribusi peluang gabungan (bersama) dari variable random diskrit X dn Y bila

1.       untuk semua (x,y)

2.      

3.      

Contoh 6 :

Dua isi ulang untuk sebuah bolpen dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 isi ulang biru, 2 isi ulang merah dan 3 isi ulang hijau. Bila X adalah jumlah isi ulang biru dan Y adalah jumlah isi ulang merah yang dipilih, carilah fungsi peluang gabungan f(x,y) !

Penyelesaian :

Pasangan nilai (x,y) yang mungkin adalah (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0,2) dan (2,0). Kemungkinan memilih 2 bolpen dari 8 bolpen yang ada adalah  = 28, kemungkinan pemilihan 1 merah dan 1 hijau adalah  = 6 dan seterusnya. Sehingga fungsi densitas gabungannya adalah :

, x = 0, 1, 2 : y = 0, 1, 2 dan 0 ≤ x+y ≤ 2

Fungsi f(x,y) merupakan distribusi peluang gabungan (bersama) dari variable random kontinu X dn Y bila

1.       untuk semua (x,y)

2.      

3.       untuk semua daerah A pada bidang datar xy

Contoh 7 :

Sebuah perusahaan gula-gula mendistribusikan kotak coklat dengan suatu campuran krim, toffees dan kacang yang dibalut coklat warna muda dan gelap. Untuk kotak yang dipilih secara random, ambil X dan Y masing-masing sebagai perbandingan coklat warna muda dan gelap yang dicampur dengan krim dan andaikan bahwa fungsi densitas gabungannya adalah

Tentukan 

Penyelesaian :

Distribusi marginal dari X saja dan Y saja adalah

   dan     dimana X dan y variable random diskrit

 dan  dimana X dan Y variable random kontinu

Misalkan  X dan Y adalah 2 variable  random diskrit, maka distribusi bersyarat dari variable random Y dengan syarat X = x  adalah :

Dengan cara yang sama, maka distribusi bersyarat dari variable random X dengan syarat Y = y adalah ;

Contoh 8 :

Densits gabungan untuk variable random (X , Y) dengan X adalah perubahan suhu satuan dan Y adalah perbandingan pergeseran spectrum yang dihasilkan oleh partikel atom tertentu diberikan sebagai :

Tentukan densitas marginal g(x), h(y) dan densitas bersyarat 

Penyelesaian :

Contoh 9 :

Jika suatu variabel random trivariat (X₁,X₂,X₃) mempunyai fungsi densitas bersama

Maka fungsi densitas marginal bersama untuk variabel random (X₁,X₃) adalah

Sehingga

Fungsi densitas untuk variabel random adalah

     Karena 0<x₁<1

    

Contoh 10 :

Suatu variabel random (X,Y) mempunyai fungsi densitas bersama

Tentukan dan gunakan hasilnya untuk menghitung

Penyelesaian :