sifat urut real

Sifat Urutan dalam R

Sifat urutan menjelaskan tentang kepositifan (positivity) dan ketaksamaan (inequalities) di antara bilangan-bilangan real.Selanjutnya Jika R adalah himpunan semua bilangan real, maka P adalah himpunan bilangan real positif. Sebelum membahas sifat-sifat selanjutnya, sebaiknya kita melihat aksioma pendukung.

Aksioma 1.1.2

Ada P subset tak kosong dari R, yang disebut himpunan bilangan real positif tegas, yang memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :

(a)      Jika a, b є P, maka a + b є P

(b)      Jika a, b є P, maka ab є P

(c)      Jika a є R, maka memenuhi tepat satu kondisi yaitu a є P, a = 0, -a є P   atau

dengan kata lain  a > 0,   a = 0,   atau  a < 0

Sifat (a) disebut sifat tertutup P terhadap operasi penjumlahan

Sifat (b) disebut sifat tertutup P terhadap operasi perkalian

Sifat (c) disebut Sifat Trikotomi (Trichotomy Property), sebab akan membagi R ke dalam tiga jenis elemen yang berbeda.  Hal ini menjelaskan bahwa himpunan                { -a : a є P } dari bilangan real negatif tidak mempunyai elemen yang sama dengan himpunan bilangan real positif. Selanjutnya R dapat dituliskan sebagai gabungan tiga himpunan yang saling lepas, yaitu : R = P U { 0 } U { -a : a є P }

Definisi 1.1.1

(a)        Jika a є P, ditulis a > 0. Artinya a adalah bilangan real positif

(b)        Jika a є P U { 0 }, ditulis a ≥ 0. Artinya a adalah bilangan real non negatif

(c)        Jika –a є P, ditulis a < 0. Artinya a adalah bilangan real negatif

(d)        Jika –a P U { 0 }, ditulis a ≤ 0. Artinya a adalah bilangan real non positif

Definisi 1.1.2

                  (a)        Jika a – b є P, maka ditulis a > b atau b < a

                  (b)        Jika a – b є P U { 0 }, maka ditulis a ≥ b atau b ≤ a

Teorema 1.1.8     Diberikan sebarang a, b, c є R

(a)        Jika a > b dan b > c, maka a > c

           (b)        Jika a > b, maka a + c > b + c

           (c)        Jika a > b dan c > 0, maka ca > cb

           (d)        Jika a > b dan c < 0, maka ca < cb

           (e)        Jika a > 0, maka   > 0

           (f)         Jika a < 0, maka   < 0

           (g)        Jika a ≤ b dan b ≤ a, maka a = b

Bukti teorema 1.1.8

(a)      Jika a > b dan b > c, maka a > c

Diketahui a > b, maka berdasarkan definisi  a – b є P

Diketahui b > c, maka berdasarkan definisi  b – c є P

Berdasarkan sifat tertutup P terhadap operasi penjumlahan, maka akan diperoleh :

     a – b + b – c є P

↔ a + 0 – c є P …………………sifat invers pada penjumlahan

↔ a – c є P ……………………..sifat identitas pada penjumlahan

↔ a > c …………………………definisi 1.1.2(a)

(b)      Jika a > b, maka a + c > b + c

Diketahui a > b, maka berdasarkan definisi  a – b є P

Diberikan c є R sebarang.

Perhatikan :

     a – b + 0 є P …………………....sifat identitas pada penjumlahan

↔ a – b + c - c є P ……………….,sifat invers pada penjumlahan

↔ a + c – b - c є P ………………...sifat komutatif pada penjumlahan

↔ a + c – ( b + c ) є P …………...sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

↔ a + c > b + c  …………………..definisi 1.1.2(a)

(c)      Jika a > b dan c > 0, maka ca > cb

Diketahui a > b, berdasarkan definisi 1.1.2(a) maka  a – b є P

Diketahui c > 0, berdasarkan definisi 1.1.1(a) maka  c є P

Berdasarkan sifat tertutup P terhadap operasi perkalian, maka akan diperoleh :

    c ( a – b ) є P

↔ ca - cb є P ………………..…sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

↔ ca > cb………………………definisi 1.1.2(a)

(d)      Jika a > b dan c < 0, maka ca > cb

Diketahui a > b, maka berdasarkan definisi  a – b є P

Diketahui c < 0, maka berdasarkan definisi -c є P

Berdasarkan sifat tertutup P terhadap operasi perkalian, maka akan diperoleh :

    -c ( a – b ) є P

↔ -ca + cb є P …………………sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

↔ cb – ca є P …………..……..sifat komutatif pada penjumlahan

↔ ca < cb………………………definisi 1.1.2(c)

(e)      Jika a > 0, maka  > 0

Diketahui a > 0, berarti a ≠ 0, berdasarkan teorema 1.1.5(a) maka  

Selanjutnya digunakan bukti tidak langsung.

Andaikan  < 0, berdasarkan teorema 1.1.8(d) maka diperoleh :

a .   <  0 . 0  ↔ 1 < 0. Hal ini tidak mungkin. Pengandaian salah, seharusnya  > 0

(f)       Jika a < 0, maka  < 0

Diketahui a < 0, berarti a ≠ 0, berdasarkan teorema 1.1.5(a) maka  

Selanjutnya digunakan bukti tidak langsung.

Andaikan  > 0, berdasarkan teorema 1.1.8(c) maka diperoleh :

0.   <  a . 0  ↔ 0 < 0. Hal ini tidak mungkin. Pengandaian salah, seharusnya  < 0

(g)      Jika a ≤ b dan b ≤ a, maka a = b

Diketahui a ≤ b dan b ≤ c.

Selanjutnya digunakan bukti tidak langsung.

Andaikan a ≠ b, maka a – b ≠ 0, berdasarkan sifat trikotomi maka a – b є P       atau  – ( a – b ) = b – a є P.

Jika a – b є P, berdasarkan definisi maka a > b. Begitu pula jika b – a є P, berdasarkan definisi maka b > a. Hal ini bertentangan dengan yang  telah diketahui sebelumnya. Jadi pengandaian salah. Seharusnya a = b

Teorema 1.1.9

(a)        Jika a є R dan a ≠ 0, maka a² > 0

(b)        1 > 0

(c)        Jika n є N, maka n > 0

Bukti teorema 1.1.9

(a)        Jika a є R dan a ≠ 0, maka a² > 0

Diketahui a є R dan a ≠ 0, berdasarkan sifat trikotomi maka a є P atau –a є P

§   Untuk a є P

      Perhatikan :

      a . a є P  …………………….. sifat tertutup P terhadap operasi perkalian

      a² є P …………………………definisi pengkuadratan

      a² > 0 …………………………definisi 1.1.1

§   Untuk –a є P

      Perhatikan :

      (-a) .(-a) є P  ………….……..sifat tertutup P terhadap operasi perkalian

      ( -1.a ) . ( -1.a ) є P  …………teorema 1.1.1 bagian (a)

      -1. -1. a. a є P ……………….sifat komutatif pada perkalian

      1. a. a є P ……………………teorema 1.1.1 bagian (c)

      a . a є P……………………….sifat identitas pada perkalian

      a² є P …………………………definisi pengkuadratan

      a² > 0 …………………………definisi 1.1.1

(b)        1 > 0

1 = 1 . 1 ……………sifat idenitas pada perkalian

   = 1² ………..…….definisi pengkuadratan

             > 0  ……………...teorema 1.1.9  bagian (a)

(c)        Jika n є N, maka n > 0

Gunakan induksi matematika.

Langkah 1 : Benar bahwa untuk n = 1 > 0   ( berdasarkan teorema 1.1.9  bagian (b) ), dan berdasarkan definisi 1.1.1 berarti 1 є P

Langkah 2 : Andaikan benar untuk n = k > 0, maka berdasarkan definisi 1.1.1     berarti k є P

Langkah 3 : Tunjukkan benar untuk n = k + 1

Perhatikan :

k + 1 є P ………………sifat tertutup P terhadap operasi penjumlahan

k + 1 > 0 ……………...definisi 1.1.1

Jadi terbukti bahwa untuk semua n є N berlaku n > 0

Teorema 1.1.10

Jika a, b є R dan a < b, maka a <  < b

Bukti teorema 1.1.10

Karena a < b, maka diperoleh :

a + a < a + b  ………………teorema 1.1.8 bagian (b)

2a < a + b  ………………...definisi penjumlahan bilangan real

a <   ……………………kedua ruas dibagi oleh 2       

Karena a < b, maka diperoleh :

a + b < b + b  ………………teorema 1.1.8 bagian (b)

a + b < 2b  ………………...definisi penjumlahan bilangan real

   <  b ……………………kedua ruas dibagi oleh 2      

Penggabungan kedua hubungan ketaksamaan akan diperoleh :

a <       dan       <  b    ↔      a <   <  b

Teorema 1.1.11

Jika a є R sedemikian sehingga 0 ≤ a < ε,  ε > 0, maka a = 0

Teorema  1.1.12  Jika ab > 0, maka berlaku

(a)    a > 0 dan b > 0,    atau

(b)    a < 0 dan b < 0

Bukti teorema 1.1.12

Diketahui ab > 0, berdasarkan definisi 1.1.1(a) maka ab є P

Karena diketahui bahwa ab > 0, maka a ≠ 0 dan b ≠ 0

Karena a ≠ 0, maka berdasarkan sifat trikotomi  a > 0 atau a < 0

(a)    Untuk a > 0, berdasarkan teorema 1.1.8 bagian (e)  maka     > 0      dan

Karena   > 0, berdasarkan definisi 1.1.1(a)  maka     є P

Perhatikan :

(ab) .   є P  ……………..sifat tertutup P terhadap operasi perkalian

(ba) .  є P ………..……..sifat komutatif pada perkalian

b ( a .  ) є P ….…………sifat asosiatif pada perkalian

b . 1 є P  …………..…….sifat invers pada perkalian

b є P ………….....……….sifat identitas pada perkalian

b > 0  …………………….definisi 1.1.1(a)

(b)    Untuk a < 0, berdasarkan teorema 1.1.8(f)  maka     < 0    dan

Karena   < 0, berdasarkan definisi 1.1.1(a)  maka  є P

Perhatikan :

(ab) .   є P  ………......sifat tertutup P terhadap operasi perkalian

(ba) .  є P ………..…...sifat komutatif pada perkalian

b ( a .  ) є P ….……….sifat asosiatif pada perkalian

b . (-1) є P  …………..……..sifat invers pada perkalian

- b є P …………...………….sifat identitas pada perkalian

b < 0  ………………………..definisi 1.1.1(c)

Teorema  1.1.13    Jika ab < 0, maka berlaku :

(a)    a > 0 dan b < 0,     atau

(b)    a < 0 dan b > 0

Bukti teorema 1.1.13

Diketahui ab < 0, berdasarkan definisi 1.1.1(c) maka (-ab) є P

Karena diketahui bahwa ab < 0, maka a ≠ 0 dan b ≠ 0

Karena a ≠ 0, maka berdasarkan sifat trikotomi  a > 0 atau a < 0

(a)    Untuk a > 0, berdasarkan teorema 1.1.8(e) maka   > 0      dan

Karena    > 0, berdasarkan definisi 1.1.1(a)  maka   є P

Perhatikan :

(-ab) .   є P  ……………..sifat tertutup P terhadap operasi perkalian

(-ba) .  є P ………..……..sifat komutatif pada perkalian

-b ( a .  ) є P ….…………sifat asosiatif pada perkalian

-b . 1 є P  …………..…….sifat invers pada perkalian

-b є P …………... ……….sifat identitas pada perkalian

 b < 0  …………………….definisi 1.1.1

(b)    Untuk a < 0, berdasarkan teorema 1.1.8 bagian (f) maka    < 0  dan

Karena   < 0, berdasarkan definisi 1.1.1  maka  є P

Perhatikan :

(-ab) .   є P  ………........sifat tertutup P terhadap operasi perkalian

-1(ab) . -1  є P ………..…...teorema 1.1.1 bagian (a)

(-1) . (-1) (ab) .  є P ………sifat komutatif pada perkalian

1 . (ab) .  є P ………………teorema 1.1.1 bagian (c)

(ab) .  є P ………………….sifat identitas pada perkalian

(ba) .  є P ………………….sifat komutatif pada perkalian

b ( a .  ) є P ….…………….sifat asosiatif pada perkalian

b . (1) є P  ……………………..sifat invers pada perkalian

b є P …………...………..…….sifat identitas pada perkalian

b > 0  ……………………...…..definisi 1.1.1(a)

 Soal-soal Latihan

1.    Buktikan bahwa –(a+b) = (-a) + (-b), untuk a, b є R

Jawab :

-(a+b) = -1.(a+b)  ……………………………teorema 1.1.1 (a)

            = (-1.a) + (-1.b)  ………….sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

            =(-a) + (-b) ………………………teorema 1.1.1 (a)

2.    Buktikan bahwa (-a)(-b) = ab, untuk a, b є R

Jawab :

(-a)(-b) = (-1.a)(-1.b)  ……………………teorema 1.1.1(a)

             = -1.(a.-1).b ……………………..sifat asosiatif pada perkalian

             = -1.(-1.a).b  ……………………..sifat komutatif pada perkalian

             = (-1.-1)(a.b)  ……………………sifat asosiatif pada perkalian

             = 1.ab  …………………………….teorema 1.1.1(c)

             = ab ……………………………….sifat identitas pada perkalian

3.    Butikan bahwa , untuk a, b є R

Jawab :

4.    Buktikan bahwa jika 0 < a < b dan 0 < c < d, maka 0 < ac < bd

Jawab :

Diketahui :

a > 0, berdasarkan definisi 1.1.1(a) maka a  P

b > 0, berdasarkan definisi 1.1.1(a) maka b  P

c > 0, berdasarkan definisi 1.1.1(a) maka c  P

d > 0, berdasarkan definisi 1.1.1(a) maka d  P

a < b, berdasarkan definisi 1.1.2(a) maka b – a  P

c < d, berdasarkan definisi 1.1.2(a) maka d – c  P

Tahap 1 :

a . c  P….……..sifat tertutup P terhadap operasi perkalian

ac > 0  …………..definisi 1.1.1(a)

Tahap 2:

b . d  P….……..sifat tertutup P terhadap operasi perkalian

bd > 0  …………..definisi 1.1.1(a)

Tahap 3:

(b – a).d  P …………sifat tertutup P terhadap operasi perkalian

   bd – ad  P ……….…sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

Tahap 4:

(d – c ).a  P…………sifat tertutup P terhadap operasi perkalian

   da - ca  P……..…….sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

Tahap 5:

(bd – ad) + (da – ca)  P  …….. sifat tertutup P terhadap operasi penjumlahan

bd – ad + ad – ca  P  ………… sifat komutatif pada perkalian

-ad + bd + ad – ca  P  ……….. sifat komutatif pada penjumlahan

-ad + ad + bd – ca  P  ……….. sifat komutatif pada penjumlahan

0 + bd – ca  P  ……………….. sifat invers pada penjumlahan

bd – ca  P  ……………………. sifat elemen identitas pada penjumlahan

ac < bd  …………………………..definisi 1.1.2(a)

   Sehingga gabungan dari hasil tahap 1, 2 dan 5 diperoleh  0 < ac < bd  (terbukti)

5.    Buktikan bahwa jika 0 < a < b dan 0 < c < d, maka 0 < a + c < b + d

Tahap 1 :

Diketahui :

a > 0, berdasarkan definisi 1.1.1(a) maka a  P

b > 0, berdasarkan definisi 1.1.1(a) maka b  P

Sehingga :

a + c  P….………..sifat tertutup P terhadap operasi perkalian

a + c > 0  …………..definisi 1.1.1(a)

Tahap 2:

Diketahui :

c > 0, berdasarkan definisi 1.1.1(a) maka c  P

d > 0, berdasarkan definisi 1.1.1(a) maka d  P

Sehingga :

b + d  P….………...sifat tertutup P terhadap operasi perkalian

b + d > 0  …………..definisi 1.1.1(a)

Tahap 3:

Diketahui :

a < b, berdasarkan definisi 1.1.2(a) maka b – a  P

c < d, berdasarkan definisi 1.1.2(a) maka d – c  P

Sehingga :

b – a + d – c  P  ……….….. sifat tertutup P terhadap operasi penjumlahan

b + d - a – c  P  …………… sifat komutatif pada penjumlahan

b + d -1.a -1.c  P  …………..teorema 1.1.1(a)

b + d -1(a + c)  P  ..……….. sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

b + d – (a + c)  P  …………..teorema 1.1.1(a)

a + c < b + d  P  …………….definisi 1.1.2(a)

Gabungan dari hasil tahap 1, 2 dan 3 diperoleh 0 < a +c < b + d  (terbukti)

6.    Buktikan bahwa jika 0 < a < b dan 0 < c < d, maka 0 < ad + bc < ac + bd

Diketahui :

a > 0, berdasarkan definisi 1.1.1(a) maka a  P

b > 0, berdasarkan definisi 1.1.1(a) maka b  P

c > 0, berdasarkan definisi 1.1.1(a) maka c  P

d > 0, berdasarkan definisi 1.1.1(a) maka d  P

a < b, berdasarkan definisi 1.1.2(a) maka b – a  P

c < d, berdasarkan definisi 1.1.2(a) maka d – c  P

Tahap 1 :

d . (b – a)  P….……...sifat tertutup P terhadap operasi perkalian

db - da  P  …………..sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

bd - ad  P  …………..sifat komutatif pada perkalian

Tahap 2:

c . (b – a )  P….……..sifat tertutup P terhadap operasi perkalian

cb - ca > 0  …………....sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

bc - ac  P  …………..sifat komutatif pada perkalian

Berdasarkan hasil tahap 1 dan 2, maka diperoleh :

bd – ad + bc - ac  P …………sifat tertutup P terhadap operasi penjumlahan

ad – bc – ac + bd  P ……….…sifat komutatif pada penjumlahan

Tahap 4:

(d – c ).a  P…………sifat tertutup P terhadap operasi perkalian

   da - ca  P……..…….sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

Tahap 5:

(bd – ad) + (da – ca)  P  …….. sifat tertutup P terhadap operasi penjumlahan

bd – ad + ad – ca  P  ………… sifat komutatif pada perkalian

-ad + bd + ad – ca  P  ……….. sifat komutatif pada penjumlahan

-ad + ad + bd – ca  P  ……….. sifat komutatif pada penjumlahan

0 + bd – ca  P  ……………….. sifat invers pada penjumlahan

bd – ca  P  ……………………. sifat elemen identitas pada penjumlahan

ac < bd  …………………………..definisi 1.1.2(a)

   Sehingga gabungan dari hasil tahap 1, 2 dan 5 diperoleh  0 < ac < bd  (terbukti)

Ketaksamaan Bernoulli

Jika x > -1, maka (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx  Untuk semua n є N

Pembuktian Ketaksamaan Bernoulli

Akan dibuktikan menggunakan Induksi Matematika

Langkah 1 : Untuk n = 1, maka :

                  (1 + x)¹ ≥ 1 + 1 . x  ↔  1 + x ≥ 1 + x  (pernyataan benar)

Langkah 2 : Misalkan benar untuk n = k, yaitu : (1 + x)^k ≥ 1 + kx

Langkah 3 : Tunjukkan benar untuk n = k + 1

        (1 + x)^k+1 = (1 + x)^k (1 + x)

                   ≥ (1 + kx) (1 + x)  = 1 + x + kx+ kx²  = 1 + (k + 1)x + kx²

Karena  k = n є N, maka k > 0

Berdasarkan teorema 1.1.8 (a) jika x є R dan x ≠ 0 maka x²  > 0

Diketahui x > -1 berarti x ≥ 0

Sehingga berlaku juga  bahwa x²  ≥ 0

Karena k > 0 dan x²  ≥ 0 maka diperoleh  kx²  ≥ 0

Sehingga pembuktiannya menjadi :

         (1 + x)^k+1 = (1 + x)^k (1 + x)

                        ≥ (1 + kx) (1 + x)  = 1 + x + kx+ kx²  = 1 + (k + 1)x + kx²

                                         ≥ 1 + (k + 1) + 0 = 1 + (k + 1) x

Yang berarti benar untuk n = k + 1 . Jadi terbukti Ketaksamaan Bernoulli

Ketaksamaan Cauchy  

Jika n є N dan a₁, ……, a_n   dan  b₁, ……, b_n   adalah bilangan-bilangan real, maka

(a₁ b₁ + a₂ b₂ …… + a_n b_n)² ≤ (a₁² + a₂² +……+ a_n²) + (b₁² + b₂² + ……+ b_n²)

                                               atau

Selanjutnya jika tidak semua b_i = 0 maka  

jika dan hanya jika terdapat s є R sedemikian sehingga a₁ = sb₁  , a₂ = sb₂ , … , a_n = sb_n

Pembuktian Ketaksamaan Cauchy

Didefinisikan fungsi F : R → R sebagai berikut :

F(t) = (a₁ – tb₁)² + (a₂ – tb₂)²  + ……..+ (a_n – tb_n)²  , t є R

Jelas bahwa F(t) ≥ 0, untuk setiap t є R.

Selanjutnya :

F(t) = (a₁² – 2ta₁b₁ + t²b₁² ) + (a₂² – 2ta₂b₂ + t²b₂² ) + …..+ (a_n² – 2ta_nb_n + t²b_n² )

F(t) = (a₁² + a₂² +……. a_n² ) – 2t (a₁b₁ + a₂b₂  + ….+ a_nb_n) + t² (b₁² + b₂² +……. b_n² )

Bentuk terakhir di atas terlihat bahwa F(t) merupakan fungsi kuadrat dengan koefisien dari t² bernilai positif, yang berarti grafiknya berupa parabola terbuka ke atas 

Agar F(t) ≥ 0 maka Diskriminan = D = b² – 4ac ≤ 0

Selanjutnya :  

Dapat ditentukan a = koefisien t² , yaitu :      

b = koefisien t, yaitu :

c = konstanta, yaitu :

Perhatikan :                         

b² – 4ac ≤ 0

Akibat Ketaksamaan Cauchy

Jika n є N dan a1, a2,…,an     serta b1,b2,….bn  adalah bilangan-bilangan real, maka