distribusi binomial

PENGGUNAAN DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT

3.1 Distribusi Binomial

Suatu peristiwa atau kejadian disebut sebagai peristiwa Binomial apabila peristiwa tersebut mempunyai dua kemungkinan yaitu sukses/berhasil/baik dan gagal/tidak baik dan dilakukan minimal dua kali. Jika kejadian tersebut dilakukan hanya satu kali saja, maka disebut peristiwa Bernoulli. Jika suatu variable random X berdistribusi Bernoulli, ditulis sebagai  dengan fungsi distribusi peluangnya adalah . Selanjutnya suatu variable random X berditribusi Binomial ditulis sebagai  dengan fungsi distribusi peluangnya adalah 

Contoh 1 :                                  

Peluang bahwa sejenis komponen tertentu yang akan bertahan terhadap sebuah uji-kejut adalah ¾. Carilah peluang di mana 2 dari 4 komponen yang selanjutnya diuji akan bertahan.

Penyelesaian :

Dengan mengasumsikan bahwa pengujian tersebut bebas dan p = ¾ untuk masing-masing dari ke-empat pengujian tersebut, maka diperoleh :

Contoh 2 :

Peluang bahwa seorang pasien sembuh dari penyakit darah yang langka adalah 0.4. Bila 15 orang diketahui telah terkena penyakit ini, berapakah peluangnya (a) paling tidak 10 selamat, (b) dari 3 sampai 8 selamat ?

Penyelesaian :

Misalkan X merupakan orang yang selamat, maka

(a)    

(b)   ,

Catatan :

Mean dan variansi dari variable random  adalah  dan  (buktikan!)

3.2 Percobaan Multinomial

Percobaan Binomial menjadi suatu percobaan multinomial bila kita membuat setiap percobaan lebih dari 2 keluaran yang mungkin. Jika suatu percobaan dapat menghasilkan k keluaran  dengan peluang sukses , maka distribusi peluang variable random  adalah

Dengan     dan    

Contoh 3 :

Bila sepasang dadu dilemparkan 6 kali, berapakah peluangnya mendapatkan suatu total 7 atau 11 sebanyak dua kali, pasangan angka yang sama satu kali dan sebarang gabungan lainnya sebanyak 3 kali ?

Penyelesaian :

Misalkan = sbuah total 7 atau 11 muncul, = pasangan angka yang sama muncul dan = bukan angka sama atau bukan total 7 atau 11 yang muncul

Maka = 2/9 , = 1/6 dan =11/18. Nilai-nilai ini konstan untuk ke-enam percobaan tersebut. Dengan menggunakan distribusi multinomial dengan =2 , =1 dan = 3 maka peluangyang diperlukan adalah :

3.3. Distribusi Hipergeometri

Diskusikan dengan kelompok saudara tentang : (1) perbedaan distribusi Binomial dan distribusi Hipergeometri, (2) fungsi padat peluangnya, (3) mean (4) variansi (5) buat sebuah contoh peristiwa/percobaan Hipergeometri dan selesaikan.

3.4 Bistribusi Binomial Negatif

Peristiwa atau percobaan Binomial tetapi diulangi sampai sejumlah sukses yang tetap, sehingga dapat ditemukan x sukses dari n percobaan yaitu sukses ke-k terjadi pada saat percobaan ke-x, maka peristiwa tersebut dikenal sebagai peristiwa Binomial Negatif.

Sebagai contoh misalkan penggunaan sebuah obat yang dikenal efektif dalam 60% kasus di mana obat tersebut digunakan. Penggunaannya akan dianggap sukses bila obat tersebut efektif menyembuhkan dalam tingkatan tertentu kepada pasien. Kita tertarik atas penemuan peluang di mana pasien kelima yang keadaannya membaik (sukses) meupakan pasien ketujuh yang menerima obat tersebut selama minggu yang ditentukan. Dengan menandai S sebagai sukses dan F sebagai gagal, maka salah satu urutan yang mungkin dalam pencapaian hasil yang diinginkan adalah SFSSFSS dengan peluang (0.6)(0.4)(0.6)(0.6)(0.4)(0.6)(0.6)=  

Bila percobaan yang bebas berulang dapat menghasilkan sebuah sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi peluang dari variable random X dengan jumlah percobaan di mana sukses ke – k terjadi adalah :

Contoh 4 :

Tentukan peluang bahwa seseorang yang melempar 3 koin akan mendapatgambar semua atau angka semua untuk kali kedua pada pelemparan yang kelima

Penyelesaian :

Ditanyakan sukses kedua dari lemparan kelima, sehingga k = 2 dan x = 5, dengan peluang sukses adalah 1/4. Peristiwa tersebut adalah peristiwa Binomial Negatif, sehingga peluangnya       

3.5 Distribusi Geometri

Apabila pecobaan bebas berulang dapat menghasilkan suatu sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi variable random X dengan jumlah percobaan di mana sukses pertama terjadi dikenal sebagai distribusi Geometri dengan distribusi peluangnya adalah 

Contoh 5 :

Dalam suatu proses produksi tertentu diketahui bahwa secara rata-rata, 1 dalam setiap 100 barang adalah cacat. Berapakah peluang bahwa barang kelima yang diperiksa merupakan barang cacat pertama yang ditemukan?

Penyelesaian :

Ditanyakan peluang barang kelima yang diperiksa, maka x = 5 dan peluang mendapat cacat adalah 0.01. Peristiwa di atas termasuk peristiwa Geometri, sehingga peluangnya adalah 

Catatan :

Mean dan variansi variable random X yang berdistribusi Geometri adalah dan 

3.6 Distribusi Poisson

Beberapa sifat suatu proses Pisson adalah :

1.      Tidak mempunyai memori

2.      Peluang bahwa sebuah keluaran tunggal akan terjadi selama waktu tertentu sebanding dengan lama selang waktunya dan tidak bergantung pada jumlah keluaran yang terjadi di luar selang waktu tsb.

3.      Peluang bahwa lebih dari satu keluaran akan terjadi di dalam suatu selang waktu yang singkat dapat diabaikan.

Distribusi peluang variable random Poisson X yang mewakili jumlah keluaran yang terjadi di dalam suatu selang waktu yang diketahui atau daerah yang ditentukan dan ditunjukkan oleh t adalah :

dengan  adalah rata-rata jumlah keluaran per waktu atau daerah satuan dan e = 2.71828……

Contoh 6 :

Rata-rata jumlah kapal tangki minyak yang datang setiap hari di sebuah tempat tertentu adalah 10 kapal. Fasilitas pada pelabuhan itu dapat menangani paling banyak 15 kapal tangki per hari. Berapa peluang pada suatu hari yang diketahui, tanker-tanker harus berbalik arah?

Penyelesaiaan :

Misalkan X adalah jumlah kapal tangki yang datang setiap hari, maka

Contoh 7 :

Selama percobaan laboratorium jumlah rata-rata partikel radioaktif yang melewati suatu pencacah dalam 1 milidetik adalah 4. Berapakah peluang 6 partikel memasuki pencacah tersebut dalam suatu milidetik yang diketahui?

Penyelesaian :

Diketahui bahwa x = 6 dan , maka 

Catatan :

1.      Mean dan variansi dari distribusi Poisson adalah .

2.      Jika X adalah sebuah variable random Binomial dengan distribusi peluang , dan jika  ,  dan  konstan, maka 

Contoh 8 :

Di dalam proses produksi di mana produk kaca dihasilkan, terjadi cacat atau gelembung yang kadang-kadang menyebabkan produk yang tidak diinginkan untuk pemasaran. Diketahui bahwa rata-rata, 1 dalam setiap 1000 barang yang dihasilkan ini mempunyai satu gelembung atau lebih. Berapakah peluang sebuah sampel random yang berisi 8000 akan membuahkan kurang dari 7 barang mempunyai gelembung?

Penyelesaian :

Ini adalah sebuah percobaan Binomial dengan n = 8000 dan p = 0.001. karena p sangat mendekati nol dan n sangat besar, kita akan memperkirakannya dengan distribusi Poisson dengan menggunakan 

Sehingga bila X mewakili jumlah gelembung, kita dapatkan