PEMOGRAMAN
LINEAR
Program Linier merupakan metode matematik
dalam mengalokasikan sumberdaya yang langka untuk mencapai tujuan tunggal
seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya.
Program Linier banyak diterapkan dalam
membantu menyelesaikan masalah ekonomi, indutri, militer, social dan lain-lain.
1.1 Formulasi
Model Program Linier
Masalah keputusan yang sering dihadapi analis
adalah alokasi optimum sumberdaya langka. Sumberdaya dapat berupa uang, tenaga
kerja, bahan mentah, kapasitas mesin, waktu, ruang atau teknologi. Tugas analis
adalah mencapai hasil terbaik yang mungkin dengan keterbatasan sumber daya itu.
Hasil yang dinginkan mungkin ditunjukkan sebagai maksimasi dari beberapa ukuran
profit, penjualan dan kesejahteraan, atau minimisasi pada biaya, waktu dan
jarak.
Setelah masalah di identifikasikan, tujuan
ditetapkan, langkah selanjutnya adalah formulasi model matematika yang meliputi
tiga tahap seperti berikut :
- Tentukan
variable yang tidak diketahui (Variabel keputusan) dan nyatakan dalam
symbol matematika.
- Membentuk
fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linier (bukan
perkalian) dari variable keputusan.
- Menentukan
semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikan dalam persamaan atau
pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variable keputusan
yang mencerminkan keterbatasan sumberdaya masalah itu.
1.2
Masalah Maksimisasi
Maksimisasi
dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil.
Contoh:
PT
LAQUNATEKSTIL memiliki
sebuah pabrik yang
akan memproduksi 2 jenis produk,
yaitu kain sutera
dan kain wol.
Untuk memproduksi kedua produk
diperlukan bahan baku
benang sutera, bahan
baku benang wol
dan tenaga kerja. Maksimum penyediaan
benang sutera adalah
60 kg per
hari, benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari.
Kebutuhan setiap unit produk akan bahan
baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel berikut:
Jenis
bahan baku dan tenaga kerja
|
Kg bahan
baku & Jam tenaga kerja
|
Maksimum
penyediaan
|
|
Kain
sutera
|
Kain wol
|
||
Benang
sutera
|
2
|
3
|
60 kg
|
Benang
wol
|
-
|
2
|
30 kg
|
Tenaga
kerja
|
2
|
1
|
40 jam
|
Kedua jenis
produk memberikan keuntungan sebesar Rp
40 juta untuk
kain sutera dan Rp
30 juta untuk
kain wol. Masalahnya
adalah bagaimana menentukan
jumlah unit setiap jenis produk yang akan diproduksi setiap hari agar
keuntungan yang diperoleh bisa maksimal.
Langkah-langkah:
1) Tentukan variabel
X1=kain sutera
X2=kain wol
2) Fungsi tujuan
Zmax= 40X1 + 30X2
3) Fungsi kendala / batasan
1. 2X1
+ 3X2 ≤ 60 (benang sutera)
2.
2X2 ≤ 30 (benang wol)
3. 2X1
+ X2 ≤ 40
(tenaga kerja)
4) Membuat grafik
1. 2X1
+ 3 X2 = 60
X1=0, X2 =60/3 = 20
X2=0, X1= 60/2 = 30
2. 2X2
≤ 30
X2=15
3. 2X1
+ X2 ≤ 40
X1=0, X2 = 40
X2=0, X1= 40/2 = 20
Cara
mendapatkan solusi optimal adalah dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim.
Titik A
X1=0,
X2=0
masukkan
nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 0 +
30 . 0 = 0
Titik B
X1=20,
X2=0
masukkan
nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 20
+ 30 . 0 = 800
Titik C
Mencari
titik potong (1) dan (3)
2X1
+ 3X2 = 60
2X1
+ X2 = 40 -
2X2 =20
X2=10
Masukkan X2
ke kendala (1)
2X1
+ 3X2 = 60
2X1
+ 3 . 10 = 60
2X1
+ 30 = 60
2X1
= 30 X1 = 15
masukkan
nilai X1 dan X2 ke Z
40X1
+ 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900 (optimal)
Titik D
2X2
= 30
X2 = 15
masukkan X2
ke kendala (1)
2X1
+ 3 . 15 = 60
2X1
+ 45 = 60
2X1
= 15 X1 = 7,5
masukkan
nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 7,5
+ 30 . 15 = 300 + 450 = 750
Titik E
X2
= 15
X1
= 0
masukkan
nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 0 +
30 .15 = 450
Kesimpulan
:
untuk memperoleh
keuntungan optimal, maka X1 =
15 dan X2
= 10 dengan
keuntungan
sebesar Rp 900 juta.
1 .3 Masalah Minimisasi
Minimisasi dapat berupa meminimumkan biaya
produksi. Solusi optimal tercapai pada saat garis fungsi
tujuan menyinggung daerah fasible
yang terdekat dengan titik origin.
Contoh :
Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk
membuat dua jenis makanan yaitu Royal
Bee dan Royal
Jelly. Kedua jenis
makanan tersebut mengandung vitamin dan protein. Royal Bee
paling sedikit diproduksi 2 unit dan
Royal Jelly paling
sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam setiap jenis
makanan:
Jenis
makanan
|
Vitamin
(unit)
|
Protein
(unit)
|
Biaya per
unit (ribu rupiah)
|
Royal Bee
|
2
|
2
|
100
|
Royal Jelly
|
1
|
3
|
80
|
minimum kebutuhan
|
8
|
12
|
Bagaimana
menentukan kombinasi kedua
jenis makanan agar
meminimumkan biaya produksi.
Langkah – langkah:
1.
Tentukan variabel
X1 = Royal Bee
X2 = Royal Jelly
2.
Fungsi tujuan
Zmin = 100X1 + 80X2
3.
Fungsi kendala
1) 2X1
+ X2 ≥ 8 (vitamin)
2) 2X1
+ 3X2 ≥ 12 (protein)
3) X1
≥ 2
4) X2
≥1
4.
Membuat grafik
1) 2X1
+ X2 = 8
X1 = 0, X2 = 8
X2 = 0, X1 = 4
2) 2X1
+ 3X2 = 12
X1 = 0, X2 = 4
X2 = 0, X1 = 6
3) X1
= 2
4) X2
= 1
Solusi
optimal tercapai pada
titik B (terdekat
dengan titik origin),
yaitu persilangan garis kendala (1) dan (2).
2X1 + X2 = 8
2X1 + 3X2 = 12 -
-2X2 = -4 รณ
X2 = 2
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + X2 = 8
2X1 + 2 = 8
2 X1 = 6 X1 = 3
masukkan nilai X1 dan X2
ke Z
Z min = 100X1 + 80X2 =
100 . 3 + 80 . 2 = 300 + 160 = 460
Kesimpulan :
Untuk meminimumkan biaya produksi, maka X1
= 3 dan X2 = 2 dengan biaya produksi 460 ribu rupiah.
SOAL LATIHAN
1.
Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2
Kendala :
1) 2X1 ≤ 8
2) 3X2 ≤ 15
3) 6X1 + 5X2 ≤ 30
X1≥
0 , X2 ≥ 0
2.
Minimumkan Z = 5 X1 + 2X2
Kendala:
1) 6X1 + X2 ≥ 6
2) 4X1 + 3X2 ≥ 2
3) X1 + 2X2 ≥ 4 , X1
≥ 0
Tidak ada komentar:
Posting Komentar