metode sudut

METODE SUDUT

Berikut ini adalah langkah-langkah untuk menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi 0bjektif f(x,y) = ax+by dengan cara uji titik sudut.

Langkah langkahnya :

1.      Buat model matematika daripermasalahan program linier.

2.      Gambarkan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier pada model matematika tersebut. Kemudian, tentukan titik-titik sudut pada daerah himpunan penyelesaiannya.

3.      Hitunglah nilai fungsi objektif f(x,y) = ax + by pada setiap titik sudut tersebut. Nilai terbesar yang diperoleh merupakan nilai maksimumnya, sedangkan nilai terkecil merupakan nilai minimumnya.

A.    Menentukan nilai yang memaksimumkan fungsi objektif

Contoh:

Tentukan nilai maksimum dari 5x + 5y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaam

 x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 10, x + 2y ≤ 8.

Jawab:

Langkah 1 : Membuat model matematika

·         Kendala : 2x + y ≤ 10

                x + 2y ≤ 8

                x ≥ 0

                y ≥ 0

·         Fungsi objectif

Z = (x,y) = 5x + 5y

      Langkah 2: Menggambar daerah himpunan penyelesaian

Dari model matematika tersebut didapat daerah himpunan penyelesaian, umpamakan titik E adalah kordinat titik potong kedua garis, diperoleh dengan cara sebagai berikut.

2x + y = 10   x2     4x + 2y = 20

 x + 2y = 8   x1      x + 2y = 8

                                      3x = 12

                                        x = 4

selanjutnya, substitusikan nilai x = 4 ke persamaan x + 2y = 8 sehingga di peroleh

           x + 2y = 8

           4 + 2y = 8          Jadi Kordinat titik E adalah (4,2)

                   y = 2

Langkah 3 : menghitung nilai fungsi objektif pada setiap titik sudut.

Titik titik sudut yang erdapat pada daerah himpunan penyelesaian tersebut adalah 0 (0,0), D (5,0),  E(4,2), dan F (0,4).

Nilai fungsi objektif dari keempat titik tersebut ditampilkan pada tabel berikut

Titik sudut	Nilai fungsi objekti z = 5x + 5y
O (0,0)	0
D (5,0)	5(5) + (0) = 25
F (0,4)	5(0) + 5 (4) = 20

Dari tabel tersebut, nilai maksimum fungsi z = f (x,y) = 5x + 5y adalah 30. Nilai ini dicapai pada titik (4,2)

  

Contoh 2 :

Sebuah pesawat terbang untuk penerbangan domestik mempunyai kaasitas tempat duduk tidak lebih dari 50 orang. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa barang hingga 30 kg, sedangkan penumpang kelas ekonomi boleh membawa barang hingga 20 kg. Pesawat tersebut mempunyai kapasitas bagasi tidak lebih dari 1.200 kg. Jika harga tiket untuk kelas utama Rp1500.000,00 dan kelas ekonomi Rp110.000,00. Tentukan banyaknya penumpang pada setiap kelas agar hasil penjualan tiket maksimum.

Jawab:

Langkah 1: membuat model matematika.

Misalkan, banyaknya penumpang kelas utama x orang dan kelas ekonomi y orang. Model matematika untuk masalah tersebut adalah sebagai berikut.

·         Kendala: x + y  ≤ 50

          30x + 20y ≤ 1200  ↔ 3x + 2y ≤ 120

           x ≥ 0

           y ≥ 0

·         Fungsi objektif:

z = f(x,y) = 150.00x + 110.000y

Langkah 2: menggambar daerah himpunan penyelesaian.

Dari model matematika tersebut, di dapat darerah himpunan penyelesaian, seperti pada gambar.

Titik B adalah kordinat titik potong kedua garis. Kordinat B diperoleh dengan cara sebagai berikut.

3x + 2y = 120 /x1  /   3x + 2y = 120

x + y    =  50 /  x2 /    2x + 2y = 100

                                       x = 20

selanjutnya, substitusikan nilai x = 20 ke persamaan x + y = 50 sehingga diperoleh

    x+y = 50 ↔ 20 + y = 50

                    ↔ y = 30

Jadi, kordinat titik B adalah (20,30).

                     

Langkah 3 : menghitung nilai fungsi objektif pada setiap titik sudut.

Titik-titik sudut yang terdapat pada daerah himpunan penyelesaian tersebut adalah 0 (0,0), A(40,0), B(20,30), dan C(0,50. Nilai fungsi objektif dari keempat titik tersebut di tampilkan pada tabel berikut.

Titik sudut	Nilai  fungsi objektif Z = 150.000x + 110.000y
0(0,0) A(40,0) B(20,30) C(0,50)	0 150.000(40) + 110.000(0) = 6.000.000 150.000(20) + 110.000(30) = 6.300.000 150.000(0) + 110.000(50) = 5.500.000

 

Dari tabel tersebut, diperoleh hasil penjualan tiket maksimum sebesar Rp6.300.000,00 yang di dapatkan jika bayaknya penumpang kelas utama 20 orang dan penumpang kelas ekonomi 30 orang.