SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL (SPLDV)

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah sebuah sistem / kesatuan dari beberapa Persamaan Linear Dua Variabel yang sejenis. Jadi, sebelum mempelajari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) lebih jauh kita pelajari terlebih dahulu mengenai hal – hal yang berhubungan dengan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV).

A. Suku, Koefisien, Konstanta dan Variabel
      Sebelum mempelajari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) kita terlebih dahulu harus mengenal apa yang dimaksud dengan Suku, Koefisien, Konstanta, dan Variabel.
Variabel adalah suatu peubah/ pemisal/ pengganti dari suatu nilai atau bilangan yang biasanya dilambangkan dengan huruf/simbol.

Contoh :
Andi memiliki 5 ekor kambing dan 3 ekor sapi.                                                                                 Jika ditulis dengan memisalkan: a = kambing dan b = sapi
Maka: 5a + 3b, dengan a dan b adalah variabel                                                                                Koefisien adalah sebuah bilangan yang menyatakan banyaknya jumlah variabel yang sejenis. Koefisien juga dapat dikatakan sebagai bilangan di depan variabel karena penulisan untuk sebuah suku yang memiliki variabel adalah koefisien didepan variabel.
Contoh :
Andi memiliki 5 ekor kambing dan 3 ekor sapi.                                                                                          Jika ditulis dengan memisalkan: a = kambing dan b = sapi
Maka: 5a + 3b, dengan 5 dan 3 adalah koefisien
Dengan 5 adalah koefisien a dan 3 adalah koefisien b                                                                          Konstanta adalah suatu bilangan yang tidak diikuti oleh variabel sehingga nilainya tetap (konstan) untuk nilai peubah (variabel) berapapun.
Contoh :
4p + 3q – 10.
– 10 adalah suatu konstanta karena berapapun nilai p dan q, nilai -10 tidak ikut terpengaruh sehingga tetap (konstan)

Suku adalah suatu bagian dari bentuk aljabar yang dapat terdiri dari variabel dan koefisien atau berbentuk konstanta yang tiap suku dipisahkan dengan tanda operasi penjumlahan.
Contoh :
5x- y + 7 , suku – sukunya adalah : 5x, -y, dan 7

B. Persamaan Linear Dua Variabel
     Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) adalah sebuah bentuk relasi sama dengan pada bentuk aljabar yang memiliki dua variabel dan keduanya berpangkat satu. Dikatakan Persamaan Linear karena pada bentuk persamaan ini jika digambarkan dalam bentuk grafik, maka akan terbentuk sebuah grafik garis lurus (linear).
Ciri – ciri PLDV:
1. Menggunakan relasi sama dengan ( = )
2. Memiliki dua variabel berbeda
3. Kedua variabelnya berpangkat satu

Contoh :
2x – 5y = 2 adalah (PLDV)
3x + 5y > 10 adalah (Bukan PLDV) karena menggunakan relasi “>”

Dalam kehidupan sehari – hari, banyak permasalahan yang berhubungan dengan konsep persamaan linear dua variabel. Contohnya:
Andi membeli 2 buku tulis dan 3 pensil = Rp 20.000,00 .Berapakah harga untuk masing – masing barang tersebut?

Permasalahan di atas adalah salah satu permasalahan yang berhubungan dengan PLDV karena terdapat 2 variabel yang berbeda yakni harga buku tulis dan harga pensil. Jika dimisalkan a = harga buku tulis, dan b = harga pensil. Maka, permasalahan diatas dapat diubah dalam bentuk matematika sebagai berikut:
2a + 3b = 20.000
Dengan a dan b adalah suatu peubah dari harga barang yang berbeda.

Pada permasalahan PLDV seperti ini, kedua variabel nilai akan saling mempengaruhi sehingga untuk satu bentuk PLDV, kita dapat menyelesaikannya dengan cara menebak langsung kemungkinan kemungkinannya. Perhatikan tabel berikut!
Harga Buku Tulis     Harga Pensil
Rp 2.000,00             Rp 6.000,00
Rp 2.500,00             Rp 5.000,00
Rp 4.000,00             Rp 4.000,00
Rp 5.500,00             Rp 3.000,00
Dst

Tabel diatas menunjukkan kemungkinan – kemungkinan harga buku dan pensil sehingga untuk pembelian 2 buku tulis dan 3 pensil adalah Rp 20.000,00.

Dicoba!
Jika Deni membeli 5 ekor ayam dan 2 ekor bebek dengan harga Rp 250.000,00. Maka harga ayam dan bebek masing – masing adalah …

C. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
     Seperti pada penjelasan sebelumnya, Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah sebuah sistem / kesatuan dari beberapa Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) yang sejenis. Persamaan Linear Dua Variabel yang sejenis yang dimaksud disini adalah persamaan – persamaan dua variabel yang memuat variabel yang sama.
Contoh :
Persamaan (i) ; 2x + 3y = 12
Persamaan (ii) ; x – 2y = -1
Kedua persamaan diatas dikatakan sejenis karena memuat variabel variabel yang sama yakni x dan y.

Jika pada PLDV, dapat dikatakan bahwa PLDV memiliki penyelesaian lebih dari satu asalkan penyelesaian tersebut memenuhi nilai pada PLDV. Jika pada SPLDV, persamaan – persamaan yang ada akan saling mengikat nilainya sehingga himpunan penyelesaiannya harus memenuhi disemua PLDV yang membentuk SPLDV.
Contoh :
Jika 2x + 3y = 12 dan x – 2y = – 1, maka nilai x dan y masing-masing adalah …

Perhatikan tabel penyelesaian berikut!
Pers. 2x + 3y = 12      Pers. x – 2y = -1
x            y                       x           y
0           4                       0          ½
1          10/3                   1          1
2          8/3                     2         3/2
3          2                        3         2
5          2/3                     4        5/2
6          0                       -1        0
Dst                                    Dst

Pada masing – masing PLDV memiliki banyak penyelesaian, namun untuk himpunan penyelesaian yang benar pada SPLDV adalah penyelesaian yang ada di semua/ di setiap PLDV. Pada contoh diatas, himpunan penyelesaiannya adalah x = 3 dan y = 2

Dicoba!
Jika 2a + b = 7 dan 2a – b = 5. Maka nilai a dan b masing – masing adalah …
Jika a + b = 3 dan 2a + 2b = 6. Maka nilai a dan b masing – masing adalah …

Dari contoh diatas, dapat disimpulkan bahwa syarat sebuah Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dapat Memiliki satu penyelesaian jika:
1. Terdapat PLDV lebih dari 1 dan sejenis
2. PLDV yang membentuk SPLDV bukan PLDV yang sama

D. Cara Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV
     Selain cara sebelumnya terdapat cara/ metode lain untuk menentukan himpunan penyelesaian dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). Diantaranya:
1) Metode Substitusi (Mengganti)
Metode ini adalah metode yang menggunakan nilai atau persamaan dari sebuah variabel untuk menggantikan variabel tersebut.
Contoh :
Jika 2a + b = 7 dan 2a – b = 5. Maka nilai a dan b masing – masing adalah …

Jawab:
2a + b = 7 ………. pers. i
2a – b = 5 ………. pers. ii
Pers. i dapat diubah bentuk menjadi b = 7 – 2a, sehingga kita dapat mengganti b pada pers. ii dengan bentuk tersebut.
b = 7 – 2a ……… pers. i
2a – b = 5………. pers. ii
2a – (7 – 2a) = 5 ……………… b diganti 7 – 2a
2a – 7 + 2a = 5
4a = 5 + 7
a = 12/4
a = 3

nilai a adalah 3, ini dapat kita substitusikan ke pers. i atau pers. ii
b = 7 – 2a
b = 7 – 2(3)
b = 7 – 6
b = 1

Dicoba!
Tentukan nilai p dan q jika 2p – q = 5 dan p + 3q = – 1!

2) Metode Eliminasi (Menghilangkan)
       Metode eliminasi adalah metode yang menggunakan cara menghilangkan sebuah variabel dari dua persamaan dengan mengoperasikan kedua persamaan. Yang dimaksud mengoperasikan persamaan disini adalah kita dapat menjumlahkan persamaan atau mengurangkan persamaan satu dengan persamaan lainnya sehingga salah satu variabelnya habis / hilang.
Contoh :
Tentukan nilai p dan q jika 2p – q = 5 dan p + 3q = – 1!

Jawab :
Dua persamaan tersebut dapat langsung kita jumlah atau kurangkan, tapi jika langsung dijumlah atau dikurangkan tidak akan ada variabel yang hilang sehingga kita harus menyamakan koefisien salah satu variabel dari kedua PLDV tersebut. Misalkan kita menyamakan koefisien p sehingga p nanti dapat hilang.
2p – q = 5    (x 1)      2p – q = 5
p + 3q = – 1 (x 2)      2p + 6q= -2 –
                                  0 – 7q = 7
                                         q = (-7)/7
                                         q = -1

setelah nilai q diperoleh, kita dapat mencari p dengan menghilangkan q dengan cara yang sama seperti saat menghilangkan p.
2p – q = 5    (x 3)   6p–3q = 15
p + 3q = – 1 (x 1)    p + 3q = -1 +
                              7p + 0 = 14
                                      p = 14/7
                                      p = 2

3) Metode Campuran (Eliminasi – Substitusi)
      Metode campuran ini adalah metode yang menggaabungkan metode eliminasi dan metode substitusi yakni dengan metode eliminasi sebagai metode awal untuk menentukan nilai salah satu variabel dan kemudian nilai variabel tersebut disubstitusikan untuk menentukan nilai variabel yang lain.
Contoh :
Tentukan nilai p dan q jika 2p – q = 5 dan p + 3q = – 1!

Jawab:
2p – q = 5 … (pers. i)
p + 3q = – 1 … (pers. ii)
Eliminasi per (i) dan pers (ii)
2p – q = 5    (x 1)      2p – q = 5
p + 3q = – 1 (x 2)      2p + 6q= -2 –
                                  0 – 7q = 7
                                         q = (-7)/7
                                         q = -1

Setelah nilai q diperoleh, kita substitusikan ke salah satu persamaan.
p + 3q = -1
p + 3(-1) = -1
p – 3 = -1
p = -1 + 3
p = 2
HP = {2; -1}

Sejarah Teori Bilangan Cina

Sistem Bilangan Cina

Sejarah Teori Bilangan Cina

Matematika Cina permulaan adalah berlainan bila dibandingkan dengan yang berasal  belahan dunia lain, sehingga cukup masuk akal bila dianggap sebagai hasil pengembangan yang mandiri. Tulisan matematika yang dianggap tertua dari Cina adalah Chou Pei Suan Ching, berangka tahun antara 1200 SM sampai 100 SM, meskipun angka tahun 300 SM juga cukup masuk akal. Hal yang menjadi catatan khusus dari penggunaan matematika Cina adalah sistem notasi posisional bilangan desimal, yang disebut pula "bilangan batang" .

Karya tertua yang masih terawat mengenai geometri di Cina berasal dari peraturan kanonik filsafat Mohisme kira-kira tahun 330 SM, yang disusun oleh para pengikut Mozi (470–390 SM). Mo Jing menjelaskan berbagai aspek dari banyak disiplin yang berkaitan dengan ilmu fisika, dan juga memberikan sedikit kekayaan informasi matematika.

Pada Dinasti Han, nomor tersebut dikembangkan menjadi sebuah sistem nilai tempat desimal dan digunakan pada papan penghitungan dengan satu set batang menghitung disebut chousuan , terdiri dari hanya sembilan simbol, ruang kosong di papan penghitungan berdiri untuk nol. Para matematikawan Liu Xin (w. 23) dan Zhang Heng (78-139) memberikan perkiraan yang lebih akurat untuk pi dari Cina abad sebelumnya telah digunakan.( Sembilan Bab di Seni Matematika .)

            Sebagai tambahan, karya-karya matematika dari astronom Han dan penemu Zhang Heng (78–139) memiliki perumusan untuk pi juga, yang berbeda dari cara perhitungan yang dilakukan oleh Liu Hui. Zhang Heng menggunakan rumus pi-nya untuk menentukan volume bola dan tidak pernah dihitung dengan tepat di tempat lain hingga seorang Jerman, Nicholas Mercator melakukannya pada abad ke-17.

Bangsa Cina juga membuat penggunaan diagram kombinatorial kompleks yang dikenal sebagai kotak ajaib dan lingkaran ajaib, dijelaskan di zaman kuno dan disempurnakan oleh Yang Hui (1238–1398 M). 

            Dalam sejarah Tiongkok banyak ahli matematika berupaya menghitung π. Sedangkan hasil yang dicapai Zu Chongzhi pada abad ke-5 dapat dikatakan merupakan kemajuan dalam penghitungan π. Zu Chongzhi lahir di kota Jiankang( kota Nanjing) pada tahun 429. sejak kecil ia sangat cerdas dan suka pengetahuan di bidang matematika dan astronomi. Pada tahun 464 ketiga ia berumur 35 tahun, Zu Chengzhi mulai menghitung π.

            Dalam kehidupan sehari-hari rakyat Tiongkok mengetahui bahwa panjang keliling lingkaran sama dengan tiga kali libat lebih diameter lingkaran. Sebelum Zu Chongzhi, ahli matematika Tiongkok Liu Hui mengajukan cara ilmia untuk menghitungkan π, dengan panjang keliling regular polygon dalam lingkaran untuk mendekati panjang keliling lingkaran yang asli. Dengan cara ini Liu Hui telah menghitungkan π sampai 4 angka dibelakang koma. Sedangkan melalui penelitian Zu Chongzhi, π telah dihitungkan sampai 7 angka di belakang koma yaitu diantara 3.1415926 dengan 3.1415927, dan memperoleh nilai mirip π dalam bentukbilanganpecahan.
　　    Untuk memperingati hasil menonkol Zu Chongzhi, ahli sejarah matematika di luar negeri pernah mengusulkan menamakan π dengan tingkat Zu. Zu Chongzhi dan anaknya juga menyelesaikan penghitungan volume bola. Prinsip matematika itu dinamakan prinsip Zu. Sebelum abad ke-14, Tiongkok adalah negara yang relatif maju dalam bidang matematika.

Sebelas dalam bahasa Cina adalah "1001".Dua belas adalah "1002", dan seterusnya.Dua puluh adalah "Dua sepuluh", dua puluh satu adalah "dua 1001" (2 * 10 + 1), dan seterusnya sampai 99.

Apa yang berbeda dari bahasa Inggris Amerika adalah bahwa ketika Anda mendapatkan sampai sepuluh ribu, Cina memiliki kata sendiri (wan4), tidak seperti Inggris di mana Anda harus menggunakan senyawa sepuluh dan ribu. ). Satu-ratus ribu adalah "satu sepuluh wan4" (di mana wan4 adalah kata Cina untuk sepuluh ribu yang tidak memiliki bahasa Inggris). Cina terus seperti ini sampai 100 juta (yi4), di mana ia memperkenalkan karakter baru.Hal ini terjadi setiap empat tempat desimal, tidak seperti bahasa Inggris Amerika di mana hal itu terjadi setiap tiga tempat desimal (ribu, juta, miliar, triliun, dll semua dipisahkan oleh tiga tempat desimal).

Untuk mengungkapkan pecahan dan persen, Cina menggunakan penyebut diikuti oleh dua karakter.(Fen1 zhi1, "bagian"), diikuti dengan pembilangnya. Jadi dua pertiga akan menjadi "tiga fen1zhi1 dua". Dalam kasus persen, Anda akan berkata "seratus fen1zhi1 jumlah", misalnya cara untuk mengatakan 63% adalah "ratus enam fen1zhi1 1003".

1.Sistem angka Cina-Jepang ( 200 SM)

            Sistem numerasi ini telah ada sejak tahun 200 S.M. Bangsa Cina menuliskan angka-angkanya menggunakan alat tulis yang dinamakan pit dimana bentuknya menyerupai kuas. Tulisannya berbentuk gambar atau piktografi yang mempunyai nilai seni tinggi. Sistem angka Cina disebut dengan sistem “batang”, mempunyai nilai tempat, berkembang sekitar 213 SM. Bangsa Cina menggunakan tiga sistem penomoran, yaitu: sistem Hindu-Arab, dan dua lainnya menggunakan penomoran bilangan setempat (disebut Daxie) yang dibedakan untuk keperluan komersil dan financial demi menghindari pemalsuan.

Adapun Jepang, juga menggunakan sistem angka Cina, meskipun berbeda dalam pelafalannya. Setelah kekaisaran Jepang mulai dipengaruhi Eropa, sistem angka Arab mulai digunakan. Pada sistem bilangan bahasa Jepang, angka dibagi menjadi kelompok 4 digit. Jadi bilangan seperti 10.000.000 (sepuluh juta) sebetulnya dibaca sebagai 1000.0000 (seribu puluh-ribu). Hanya saja, karena pengaruh dunia barat angka selalu ditulis dengan pengelompokan 3 digit gaya barat.

Oracle tulang script desimal menghitung batang menempatkan nilai desimal 

Matematika sederhana pada naskah tulang Oracle tanggal kembali ke Dinasti Shang (1600-1050 SM). Salah satu karya matematika tertua adalah Yi Jing , yang sangat dipengaruhi sastra tertulis pada Dinasti Zhou (1050-256 SM).Untuk matematika, buku ini termasuk penggunaan canggih heksagram . Leibniz menunjukkan, I Ching mengandung unsur bilangan biner.
Sejak periode Shang, Cina telah sepenuhnya mengembangkan desimal sistem. Sejak zaman awal, Cina memahami dasar aritmatika (yang didominasi sejarah timur jauh), aljabar , persamaan , dan angka negatif dengan batang menghitung.
Meskipun Cina lebih terfokus pada aritmatika dan aljabar lanjutan untuk astronomi menggunakan, mereka juga yang pertama untuk mengembangkan angka negatif, geometri aljabar (hanya geometri Cina) dan penggunaan desimal. Sistem angka Cina-Jepang bersifat multipikatif, yaitu suatu sistem dengan basis b (b=10) dan memilih lambang 1, 2, 3, ……., b-1 serta lambang lain untuk b, b²_, b³, …., serta tidak mempunyai lambang untuk nol, mempunyai nilai tempat serta dituliskan secara tegak. 

Karena itu, penulisan ini dimaknai sebagai berikut:

5625 = 5 1000 + 6 100 + 2 10 +5

Angka-angkanya posisional. Notasi numerik penuh dituliskan di dalam dua baris untuk menunjukkan nilai-nilai numerik, orde besaran, dan satuan pengukuran.

Bila ditulis mendatar (kiri ke kanan, atas ke bawah):

〤        〇       〢        二

拾        元

Baris pertama berisi nilai-nilai numerik, di dalam contoh ini, "〤〇〢二" mewakili "4.022". Bari kedua berisi karakter Cina yang mewakili orde besaran dan satuan pengukuran angka pertama di dalam penyajian numerik. Di dalam kasus ini "拾元" yang mewakili "sepuluh yuan". Ketika diletakkan bersama-sama, maka dibacanya "40,22 yuan".

Karakter yang mungkin untuk menunjukkan orde besaran di antaranya:

•                  qiān (千) untuk ribuan

•                  bái (百) untuk ratusan

•                  shí (拾) untuk puluhan

•                  kosong untuk satuan

Karakter yang mungkin lainnya untuk menunjukkan satuan pengukuran di antaranya:

•                  yuán (元) untuk dollar

•                  máo (毫) atau (毛) untuk 10 sen

•                   xiān (仙) untuk 1 sen

•                  lǐ (里) untuk mil Cina

•                  lainnya Satuan pengukuran Cina

Ketahuilah bahwa koma desimal adalah tersirat (imaplisit) ketika angka pertama adalah himpunan pada posisi sepuluh. Nol disajikan oleh karakter untuk nol (〇). Di sistem ini, nol di muka tidak diperlukan.

Ini sangat mirip dengan bilangan bernotasi ilmiah modern untuk titik ambang di mana angka yang signifikan disajikan di dalam mantissa dan orde besaran dinyatakan dengan eksponen. Juga, satuan pengukuran, dengan indikator angka pertama, biasanya bersekutu dengan pertengahan baris "bilangan".

2.      Simbol atau Lambang Bilangan Cina  

Orang China juga memiliki beberapa cara lain untuk merepresentasikan bilangan. Bentuk geometrik di bawah ini melambangkan angka dari1 hingga 10. Cara penomoran ini dinamakan Fang Da Zhuan, dan masih digunakan pada                                                                   stempel resmi.

Sistem Perkalian

•      Basis bilangan : b

•      Simbol : 1, 2, 3, ... (b-1) => basis b digunakan huruf sebagai simbol

•      Example :

•      Basis : 10

•      Simbol : 1, 2, 3, ...9

•      Maka bilangan dari 10, 102, 103 bersimbol a, b, c

•      2993 = 2.103 + 9.102 + 9.10 + 3 = 2c9b9a3

Sistem Bilangan Yunani

Sistem Bilangan Yunani

Zaman keemasan bangsa Yunani Kuno diperkirakan terjadi pada tahun 600 SM. sampai dengan 300 SM. Pada zaman itu banyak bermunculan ahli-ahli matematika dari Yunani beserta temuan teorinya, seperti Euclides, Archimides, Appollonius. Matematika Yunani merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Yunani antara tahun 600 SM sampai 300 M. Matematikawan Yunani tinggal di kota-kota sepanjang Mediterania bagian timur, dari Italia hingga ke Afrika Utara, tetapi mereka dibersatukan oleh budaya dan bahasa yang sama. Matematikawan Yunani pada periode setelah Iskandar Agung kadang-kadang disebut Matematika Helenistik.

Matematika Yunani diyakini dimulakan oleh Thales dari Miletus (kira-kira 624 sampai 546 SM) danPythagoras dari Samos (kira-kira 582 sampai 507 SM). Meskipun perluasan pengaruh mereka dipersengketakan, mereka mungkin diilhami oleh Matematika Mesir dan Babilonia. Menurut legenda, Pythagoras bersafari ke Mesir untuk mempelajari matematika, geometri, dan astronomi dari pendeta Mesir.

Tokoh-Tokoh Yunani

1. THALES (± 624 – 548 SM)

Thales mengemukakan lima teorema tentang geometri, yang mungkin diperolehnya dari hasil perjalanannya. Teorema tersebut adalah:

•         Suatu lingkaran dibagi dua sama besar oleh diameternya.

•         Sudut-sudut alas suatu segitiga sama kaki adalah sama.

•         Pasangan sudut siku-siku yang dibuat oleh dua garis yang berpotongan adalah sama.

•         Dua segitiga adalah sama dan sebangun apabila dua sudut dan satu sisinya sama.

•         Suatu sudut yang dilukis dalam setengah lingkaran adalah siku-siku.

Dalam bidang astronomi, Thales dikagumi karena Thales sudah dapat memprediksi gerakan ellips matahari dalam peredarannya dalam satu tahun.

2. Phytagoras

Phytagoras dan pengikutnya membangun bilangan-bilangan figurative dimana banyak teorema menarik yang dapat dibuat dengan bilangan figurative ini, antara lain:

•         Bilangan triangular

•         Bilangan bujursangkar

•         Bilangan pentagon

•         Bilangan hexagon

Bilangan persegi panjang

3. Eudoxus (408 SM - 355 SM)

Mengembangkan metoda kelelahan, sebuah rintisan dari Integral modern. Aristoteles (kira-kira 384 SM sampai 322 SM) mulai menulis hukum logika. Euklides (kira-kira 300 SM) adalah contoh terdini dari format yang masih digunakan oleh matematika saat ini, yaitu definisi, aksioma, teorema, dan bukti. Dia juga mengkaji kerucut. Bukunya, Elemen, dikenal di segenap masyarakat terdidik di Barat hingga pertengahan abad ke-20. Selain teorema geometri yang terkenal, seperti teorem Pythagoras, Elemen menyertakan bukti bahwa akar kuadrat dari dua adalah irasional dan terdapat tak- hingga banyaknya bilangan prima.Saringan Eratosthenes (kira-kira 230 SM) digunakan untuk menemukan bilangan prima.

4. Archimedes (287 SM - 212 SM)

Dari Syracuse menggunakan metoda kelelahan untuk menghitung luas di bawah busur paraboladengan penjumlahan barisan tak hingga, dan memberikan hampiran yang cukup akurat terhadap Pi. Dia juga mengkaji spiral yang mengharumkan namanya, rumus-rumus volume benda putar, dan sistem rintisan untuk menyatakan bilangan yang sangat besar.

Sistem Bilangan Yunani

Dalam sistem  ilangan Yunani, terdapat 27 abjad Yunani Alphabet yang digunakan sebagai lambang bilangan, yakni :

1	α		10	ι		100	ρ
2	β		20	κ		200	σ
3	γ		30	λ		300	τ
4	δ		40	μ		400	υ
5	ε		50	ν		500	φ
6	ς/ϝ		60	ξ		600	χ
7	ζ		70	ο		700	ψ
8	η		80	π		800	ω
9	θ		90	ϟ		900	Ϡ

Contoh:

12 =10+2= ι β             21 =20+1= κ α                        247 =200+40+7= σ μ ζ

Bangsa Yunani memiliki banyak cara untuk menulis angka, namun tidak ada yang efisien, dan tiap negara kota Yunani menggunakan sistem yang berbeda pula.

Sejumlah orang Yunani menggunakan sistem berupa menuliskan huruf pertama dari kata bagi nomor tersebut. Jika ingin mengatakan sepuluh ('Δέκα, Deka), maka mereka menulis Δ, yang artinya sepuluh. Dengan sistem ini, 1 ditulis dengan sebuah garis lurus, mirip dengan angka 1 pada penulisan modern. Mereka menggunakan Π untuk Πέντα (Penta, lima), Δ untuk (Δέκα, Sepuluh), H untuk Hεκατόγ (Hekaton, seratus), X untuk Xιλιλοι (Xhililoi, seribu), dan M untuk Mυριοι (Murioir, sepuluh ribu). Jadi mereka akan menuliskan angka 6247 sebagai XXXXXXHHΔΔΔΔΙΙΙΙΙΙΙ.

Pengurangan dalam sistem bilangan yunani di perkenalkan olah Diophatus dikenal dengan bapak aljabar di Babilonia.

Kelebihan

a)      Sudah mengenal phytagoras

b)      sudah banyak ahli MTK yg di kenal.

kekurangan

a)      belum mengenal angka nol, simbolnya susah di ingat.