Senin, 02 Mei 2016

pengertian himpunan semesta

Memahami Hipunan Semesta dan Himpunan Bagian | Materi Himpunan semesta dan himpunan bagian merupakan salah satu materi dalam ilmu matematika yang dipelajari sejak SD . Himpunan merupakan suatu kumpulan objek atau benda yang dapat di definisikan secara jelas . Didefinisikan secara jelas yaitu jelas keanggotaannya yaitu setiap kita tunjuk objek , kita dapat mengatakan dengan tegas anggotanya atau bukan anggotanya . Lalu apakah yang dimaksud dengan himpunan semesta dan himpunan bagian ? Pada kesempatan kali ini , kita akan mempelajarinya serta memahami bagaimana cara mengerjakan apabila ada suatu permasalahan yang berhubungan dengan himpunan semesta ataupun himpunan bagian .
Himpunan Semesta dan Himpunan Bagian
Sebelum mempelajari himpunan semesta dan himpunan bagian , maka terlebih dahulu mempelajari himpunan bilangan , perhatikan penjelasan di bawah ini .
Himpunan Bilangan meliputi :
a. Himpunan Bilangan Asli ( A )
A = { 1 , 2 , 3 , 4 , . . . . }
advertisements

b. Himpunan Bilangan Cacah ( C )
C = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , . . . .}
c. Himpunan Bilangan Bulat ( B )
B = { . . . ., -3 ,-2 ,-1 , 0 ,1  , 2 , 3 , . . . }
d. Himpunan Bilangan Rasional ( Q )
Q = { x / x = a/b , a dan b  B , b ≠ 0 }
  • Dalam ilmu matematika , tidak mempelajari bilangan yang di bagi 0 . , jadi 0 / o dijawab berapapun benar .
  • Bilangan Rasional meliputi bilangan bulat dan pecahan .
e. Himpunan Bilangan Prima ( P )
Bilangan prima yaitu bilangan yang tepat dua buah .
P = { 2, 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 . 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 . . . dst }
Cara Menyatakan Himpunan 
Ada tiga macam cara untuk menyatakan himpunan , yaitu :
a. Dengan menggunakan kata – kata
Contoh :
  • Himpunan bilangan prima yang kurang dari 10
  • Himpunan huruf Vokal
b. Dengan Cara menuliskan anggotanya
Contoh :
  • A = { 2 , 3 , 5 , 7 }
  • V = { a , i , u , e , o }
c. Dengan Cara menggunakan notasi pembentuk himpunan
Contoh :
A = { x / x < 10 , x bilangan prima }
Jika dibaca adalah A adalah himpunan semua x sedemikian hingga x kurang dari 10 dan x bilangan prima .
Himpuna semesta 
Himpunan semesta yaitu himpunan yang memuat semua anggota yang sedang dibicarakan . Himpunan semesta dilambangkan dengan huruf  ” S ” .
Contoh 1 :
A = { 1 , 2, 3 , 5 , 7 }
B = {  5 , 7 , 9 }
S = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
Irisan Himpunan ( \cap )
Irisan Himpunan , dimisalkan A  \cap  B yang artinya bahwa himpunan yang anggotanya menjadi nggota A , dan sekaligus menjadi anggota B .
Contoh 2:
A = { 1, 2 ,3 , 4 }
B= { 3 , 4 , 5 }
 \cap  B = { 3 , 4 }
Gabungan ( \cup )
Gabungan , dimisalkan A  \cup B Yang artinya bahwa himpunan yang anggotanya menjadi anggota A atau menjadi anggota B .
Contoh 3:
A = { 1, 2 ,3 , 4 }
B= { 3 , 4 , 5 }
 \cup B = { 1, 2 , 3 , 4 , 5 }

Diagram Venn
Suatu himpunan dapat dinyatakan dalam diagram ven , diagram ven merupakan diagram yang pertama kali dikemukakan oleh ilmuwan asal Inggris yang bernama JHON VENN .
Dalam diagram venn , himpuan semesta dinyatakan dengan benuk persegi panjang . Sedangkan himpunan yang lain , di luar semesta dinyatakan dalam kurva sederhana dan noktah – noktah untuk menyatakan anggotanya . Dan apabila tidak ada himpunan yang sama antara himpuna A dan B , maka lingkaran dalam himpunan semesta tersebut tidak saling berpotongan . Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh di bawah ini

Contoh 4 :
1.) S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }
A = { 1 , 4 , 6 , 7 }
B = { 2 , 4 , 5 , 8 }
 \cap  B = { 4 }
 \cup B = { 1 , 2 , 4 , 5  , 6 , 7 , 8 }
Maka apabila digambarkan dalam diagram VENN , adalah :
Himpunan Semesta
2.) S = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
 X = { 1, 2 , 4 , 5 }
Y = { 6 , 7 , 8 }
Himpunan Semesta
Himpunan Kosong  ( { } )
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota , dan dinotasikan dengan { } atau \varnothing,
Himpunan kosong ( { } ) , merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan .
Himpunan Bagian  (   )
Himpuna bagian dimisalkan dengan A   B , Artinya jika setiap anggota A ( Semua anggota A ) , Menjadi anggota B .
Contoh 5:
1.) A = { 1 , 2 , 3 }
B = { 0 , 1 ,2 , 3 , 4 }
 B , Karena semua anggota A Menjadi anggota B .
2.) P = { a , b , c }
Q = { a , c , d , e , f }
P bukan Himpunan bagian dari Q ( P  Q ) , Karena ada anggota P yang tidak menjadi anggota Q .
3.) P = { a , b , c } , Tulislah semua himpunan bagian dari P
  1. { }
  2. { a }
  3. { b }
  4. { c }
  5. { a , b }
  6. { a , c }
  7. { b , c }
  8. { a , b , c }
“Catatan : Setiap himpunan , merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri “
Dari contoh nomor 3 , maka Cara untuk menentukan Banyaknya Himpunan Bagian A , maka Rumusnya adalah :
A  = 2 n(A)
Keterangan :
n(A ) = Banyaknya anggota A
Untuk menentukan banyaknya himpunan bagian suatu himpunan ,yaitu dengan menggunakan konsep segitiga pascal . Perhatikan gambar di bawah ini :
Himpunan Semesta
4.)  P ={ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } , n ( P ) = 5
a. Tentukan banyaknya himpunan bagian P
b. Tentukan Banyaknya Himpunan Bagian P yang mempunyai 3 anggota .
Penyelesaian :
a. Banyaknya Himpunan Bag. P = 2 n(P)
                                                          = 2 5     = 32
b. Banyaknya Himpunan Bagian P yang mempunyai 3 anggota adalah 10  ( caranya melihat segitiga pascal berikut)
Himpunan Semesta
Komplemen Suatu Himpunan 
Komplemen suatu himpunan Dimisalkan dengan Aatau  Al, yaitu himpunan yang anggotanya adalah anggota S selain anggota  
Untuk lebih memahaminya , perhatikan contoh berikut
Contoh 6 :
1.) S = { 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 }
A = { 1 , 2 , 3 , 4 }
Maka dihasilkan AC  = { 0 , 5 } dan ( A)C  =  { 1 , 2 , 3 , 4 }
atau dengan kata lain ( A)= A
2.) S = { 0 , 1 , 2 ,3 ,4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
P = { 2 , 3 , 4 , 5 }
Q = { 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }
Tentukan :
a. P  \cap  Q
b. P  \cup Q
c. PC  
d. QC  
e. ( P  \cap  Q )C
f. ( P  \cup Q )C
g. PC   \cap QC  
h. PC   \cup QC  
Penyelesaian :
a. P  \cap  Q = { 4 , 5 }
b. P  \cup Q = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }
c. PC  = { 0 , 1 , 6 , 7 , 8 , 9 }
d. QC   = { 0 , 1 , 2 , 3 , 9 }
e. ( P  \cap  Q )= { 0 , 1 , 2 , 3 , 6 , 7 , 8 , 9 }
f. ( P  \cup Q )= { 0 , 1 , 9 }
g. PC   \cap QC   = { 0 , 1 , 9 }
h. PC   \cup QC   = { 0 , 1 , 2 , 3 , 6 , 7 , 8 , 9 }
Dari Contoh di atas maka , dihaslkan rumus sebagai berikut :
( P  \cap  Q )C   =  PC   \cup QC
( P  \cup Q )C  =   PC   \cap QC   
          atau 
( A  \cap  B )C   =AC   \cup BC
( A  \cup B )C  =  AC   \cap BC


Tidak ada komentar:

Posting Komentar