model statistika

MODEL-MODEL STATISTIK

5.1 Model Statistik

Data dipandang sebagai hasil (outcome) eksperimen random.

Contoh 1 :

Dari suatu pengiriman barang yang terdiri dari N elemen, Nθ menyatakan jumlah elemen cacat. Untuk mendapatkan informasi tentang θ, suatu sampel random dengan ukuran n diambil dan dilihat jumlah barang yang cacat. Data yang didapat adalah jumlah cacat yang terdapat dalam sampel.

Diberikan eksperimen random dengan ruang sampel Ж. Pada ruang sampel ini didefinisikan vector random =(x₁,x₂,…,x_n), karena hanya  yang kita observasi, maka kita hanya perlu memandang distribusi probabilitasnya. Distribusi ini diandaikan menjadi anggota keluarga  dari distribusi probabilitas pada (

: ruang parameter

Θ : parameter: state  nature

P : model statistic

Tujuan analisis adalah memberikan pernyataan tentang harga θ. Berikut ini diberikan beberapa kelas model statistic.

Definisi:

Misalkan (  ruang ukuran dengan adalah keluarga ukuran  finite dan  adalah keluarga ukuran probabilitas pada .

Dikatakan terdominan oleh (atau ρ disebut keluarga terdominasi) ρ_θ<< . Dalam hal ini kita menulis atau untuk densitas (Randon-Nikodym derivative) dari ρθ terhadap(yaitu  dan mengidentifikasikan dengan keluarga densitas

Hampir semua model statistic adalah keluarga terdomonasi, yaitu terhadap ukuran lebesque (vector random diskrit)

Definisi:

Misalkan β(x) suatu densitas

1)      Keluarga f(x|θ) = f (x-θ) . -  disebut keluarga lokasi dengan densitas baku f(x) dan θ disebut parameter lokasi dari keluarga tersebut.

Contoh 2 :

1.      f(x|θ) =

2.      f(x| =

2)      Keluarga f(x|r)=r^-1 f(x|r), untuk r >0 disebut keluarga skala dengan densitas baku f(x) dan r disebut parameter skala dari keluarga tersebut

contoh: f(x|r) =

3)      Keluarga f(x|θ,r) = r^-1 f( untuk r>0 disebut keluarga lokasi-skala dengan densitas baku f(x), θ disebut parameter lokasi dan r disebut parameter skala

contoh :f(x|θ,r) =

1.2 Keluarga Eksponensial

Definisi:

Keluarga densitas disebut keluarga eksponensial bila ia dapat dinyatakan sebagai

 f(x|θ) = h(x) c(θ) exp ………………………………….(1.1)

disini h(x) ≥0 dan t₁(x),…tk(x) fungsi real dari x (mereka tidak boleh tergantung pada θ), dan ((θ)≥0 dan w₁(θ), w₂(θ),…,wk (θ) fungsi berharga real dari θ (mereka tidak boleh tergantung pada x. θ bias berupa vector.

Contoh 3 :

1.      f(x|θ) =

          =

          =

Definisikan :

h(x) = 

c(θ) =    

w₁(θ) =  

dan t₁ (x) = x

Maka kita mempunyai f  dan ini adalah bentuk (1.1) dengan k = 1.

2.      Misalkan  adalah keluarga N( ). Disini = ( , . Maka 

 = 

            Definisikan h(x) = 1 untuk semua x

            c(  

            w₁( ,              w₂( 

            t₁(x)     =   - 

Maka  dan ini adalah bentuk (1.1) dengan k = 1. Keluarga eksponensial kadang-kadang diparameterkan kembali sebagai : . Disini h(x) dan t₁(x) adalah fungsi-fungsi yang sama seperti dalam bentuk parameter asal (1.1).

Himpunan H = {  disebut ruang parameter alami (natural parameter place) untuk keluarga eksponensial.

Contoh 4 :

Untuk menentukuan ruang parameter alami bagi keluarga distribusi normal, w₁ diganti dengan , sehingga . Integral berhingga berhubungan koefisien pada x²negatif. Hal ini berarti bahwa  harus positif. Jadi, ruang parameter alami adalah { dimana  .