integral

INTEGRAL

 TURUNAN

  Materi turunan dalam Matematika memiliki sub bab mengenai persamaan garissinggung suatu kurva, maka materi ini pasti akan teman-teman temui jika sedangmengulas mengenai turunan. Agar teman-teman lebih paham mengenai cara mencari persamaan garis singgung kurva mari kita simak penjelasan berikut ini.

Sebelum  kita belajar kemateri inti yaitu cara mencari persamaan garis singgung kurva, kita harus tahu dulu mengenai gradient garis yang disimbolkan dengan m, dimana :

·                     Gradian garis untuk persamaan y = mx + c adalah m

·                     Gradient garis untuk persamaan ax + by = c, maka m = -a/b

·                     Gradient garis jika diketahui dua titik, misal ( x1 , y1 ) dan  ( x2 , y2 ) makauntuk mencari gradient garisnya  m = ( y2 - y1 ) / ( x2 - x1 )

Gradien dua garis lurus, berlaku ketentuan :

·                     Jika saling sejajar maka m1 = m2

·                     Jika saling tegak lurus maka m1.m2 = -1 atau m1 = -1/(m2)

Persamaan Garis Singgung Kurva

Jika terdapat kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x1, y1) maka gradientgaris singgung tersebut bias dinyatakan dengan m =  f ' ( x1 ). Sementara itu  x1 dan y1 memiliki hubungan y1 = f(x1). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakandengan  y – y1 = m(x – x1).

Jadi inti nyajikan kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika diketahuigradiennya  m dan menyinggung di titik (x1,y1) maka kita gunakan persamaan y-y1=m(x-x1)

Agar lebih memahami mengenai materi persamaan garis singgung tersebut, perhatikanbeberapa contoh soal berikut ini :

1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ – 3x di titik (2, 3) ?

Jawab :
f(x) = x³ – 3x
f ‘(x) = 3x² – 3
m = f ‘(2) = 12 – 3 = 9

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y – y1 = m(x – x1)
y – 3 = 9 (x – 2)
y – 3 = 9x – 18
y = 9x – 15

2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x⁴ – 7x² + 20  dititik  yang berabsis 2 ?

Jawab :
x = 2
y = x⁴ – 7x² + 20 = y = 2⁴ – 7.2² + 20 = 16 – 28 + 20 = 8
m =y’ = 4x³ – 14 x = 4.2³ – 14.2 = 32 – 28 = 4

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 8 = 4(x – 2)
y – 8 = 4x – 8
y = 4x

3. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ + 10 di titik yang berordinat18 ?

Jawab :
Ordinat adalah nilai y, maka
y = 18
x³ + 10 = 18
x³ = 8
x = 2

m = y’ = 3x² = 3.2² = 12

Sehingga persamaan garis singgungnya
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 18 = 12(x – 2)
y – 8 = 12x – 24
y = 12x – 16

5. Persamaan garis singgung pada kurva y = x⁴ – 5x² + 10 di titik yang berordinat 6 adalah

Jawab :
ordinat = 6
x⁴ – 5x² + 10 = 6
x⁴ – 5x² + 4 = 0
(x² – 1)(x² – 4) = 0
(x + 1)(x – 1)(x + 2)(x – 2) = 0
x = -1 atau x = 1 atau x = -2 atu x = 2

untuk x = -1
m = 4x³ – 10x = -4 + 10 = 6
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 6 = 6(x + 1)
y – 6 = 6x + 6
y = 6x + 12

Untuk x = 1
m = 4x³ – 10x = 4 – 10 = -6
y – y₁ = m(x – x₁)
y –  6 = -6(x – 1)
y – 6 = -6x + 6
y = -6x + 12

Untuk x = -2
m = 4x³ – 10x = 4(-2)³ – 10(-2) = 4(-8) + 20 = -32 + 20 = -12
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 6 = -12(x + 2)
y – 6 = -12x – 24
y = -12x – 18

Untuk x = 2
m = 4x³ – 10x = 4.2³ – 10.2 = 4.8 – 20 = 32 – 20 = 12
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 6 = 12(x – 2)
y – 6 = 12x – 24
y = 12x – 18

Jadi, ada 4 persamaan garis singung, yaitu y = 6x + 12,   y = -6x = 12, y = -12x – 18 dan              y = 12x – 18

6. Persamaan garis singgung pada kurva y = 3x⁴ – 20 yang sejajar dengan garis y = 12x + 8 adalah

Jawab :
y = 3x⁴ – 20y’ = 12x³

Persamaan garis yang sejajar dengan garis singgung adalah
y = 12x + 8
maka gradient garis ini adalah m₁ = 12
Karena sejajar maka gradiennya sama sehingga gradient garis singgung (m₂) adalah
m₂ = m₁ = 12

gradient garis singgung ini sama dengan turunan kurva sehingga
y’ = 12
12x³ = 12
x³ = 1
x = 1
maka y = 3x⁴ – 20 = 3 – 20 = – 17

Persamaan garis singgungnya adalah
y – y₁ = m(x – x₁)
y + 17 = 12(x – 1)
y + 17 = 12x – 12
y = 12x – 29

7. Garis yang menyinggung kurva y = 12  – x⁴  dan tegak lurus dengan x – 32y = 48 mempunyai persamaan ….

Jawab :
y = 12  – x⁴
y’ = – 4x³

Sedangkan
x – 32y = 48
32y = x – 48

Garis ini memiliki gradien m1 = 1/32
Karena garis singgungnya tegak lurus dengan garis ini maka

m₁.m₂ = -1
(1/32) m2 =-1
m₂= -32
m₂ ini adalah gradient garis singgung, sehingga sama dengan turunan
y’ = -32
– 4x³ = -32
x³ = 8
x = 2
y = 12  – x⁴ = 12-2⁴ = -4
maka persamaan garis singgungnya
y – y₁ = m(x – x₁)
y + 4 = -32(x – 2)
y + 4 = -32x + 64
y = -32x + 60