persamaan differensial

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Banyak masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan dalam persamaan diferensial. Untuk menyelesaikannya masalah tersebut kita perlu menyele-saikan pula persamaan diferensialnya. Dalam bab ini persamaan diferensial yang diberi-kan dibatasi pada persamaan diferensial tingkat satu khususnya sampai persamaan dife-rensial eksak.

                 

Pengertian Persamaan Diferensial

Secara matematis, persamaan differensial adalah persamaan yang didalamnya terdapat turunan-turunan. Secara fisis, persamaan differensial adalah persamaan yang menyatakan hubungan antara turunan (derivative) dari satu variabel tak bebas terhadap satu/lebih variabel bebas.

Banyak permasalahan dalam berbagai bidang teknik, fisika maupun bidang – bidang kehayatan yang dapat dimodelkan ke dalam bentuk persamaan diferensial. Berikut diberikan beberapa contoh fenomena di alam yang dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial.

 

Berdasarkan banyaknya variabel bebas, Persamaan Differensial dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu:

1.      Persamaan Differensial Biasa, yaitu persamaan differensial yang mengandung hanya satuvariabel bebas

 2.  Persamaan Differensial Parsial, yaitu persamaan differensial yang mengandung lebih dari satu variabel bebas.

Definisi : Tingkat (Ordo) suatu PD adalah tingkat turunan tertingi yang terlibat dalam PD tersebut.

Derajat (degree) suatu PD adalah pangkat dari turunan ordo tertinggi jika PD tersebut ditulis sebagai polinomial dalam turunan.

Definisi :Suatu persamaan yang tidak lagi memuat turunan dan memenuhi satu  persa-maan differesial  disebut penyelesaian persamaan differensial.

Penyelesaian suatu persamaan diferensial dibedakan menjadi 2 yaitu :

a.      Penyelesaian Umum Persamaan Differensial (PUPD), adalah selesaian PD yang masih memuat memuat konstanta penting (konstanta sebarang).

b.      Penyelesaian Partikulir/Khusus Persamaan Differensial (PPPD/PKPD),  adalah selesaian PD yang diperoleh dari PUPD dengan mengganti konstanta penting dengan konstanta yang memenuhi syarat awal atau syarat batas.

Persamaan Differensial Terpisah Dan Mudah  Dipisah

Bentuk Umum PD dengan variable terpisah :

f(x) dx + g(y) dy = 0

Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh PUPD  :

Penyelesaian :   

metode grafik

program Linier : Metode Grafik

Linear Programming : Metode Grafik

Linear programming adalah suatu teknis matematika yang dirancang untuk membantu manajer dalam merencanakan dan membuat keputusan dalain mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai tujuan perusahaan.

Tujuan perusahaan pada umumnya adalah memaksimalisasi keuntungan, namun karenaterbatasnya sumber daya, maka dapat juga perusahaan meminimalkan biaya.

Linear Programming memiliki empat ciri khusus yang melekat, yaitu :

1. penyelesaian masalah mengarah pada pencapaian tujuan maksimisasi atau minimisasi

2. kendala yang ada membatasi tingkat pencapaian tujuan

3. ada beberapa alternatif penyelesaian

4. hubungan matematis bersifat linear

Secara teknis, ada lima syarat tambahan dari permasalahan linear programming yang harus diperhatikan yang merupakan asumsi dasar, yaitu:

1. certainty (kepastian). Maksudnya adalah fungsi tujuan dan fungsi kendala sudah diketahui dengan pasti dan tidak berubah selama periode analisa.

2. proportionality (proporsionalitas). Yaitu adanya proporsionalitas dalam fungsi tujuan dan fimgsi kendala.

3. additivity (penambahan). Artinya aktivitas total sama dengan penjumlahan aktivitas individu.

4. divisibility Coisa dibagi-bagi). Maksudnya solusi tidak harus merupakan bilangan integer (bilangan bulat), tetapi bisa juga berupa pecahan.

5. non-negative variable (variabel tidak negatif). Artinya bahwa semua nilai jawaban atau variabel tidak negatif.

Dalam menyelesaikan permasalahan dengan menggunakan Linear Programming, ada dua pendekatan yang bisa digunakan, yaitu metode grafik dan metode simpleks. Metode grafik hanya bisa digunakan lantuk menyelesaikan permasalahan dimana variabel keputusan sama dengan dua. Sedangkan metode simpleks bisa digu-nakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana variabel keputusan dua atau lebih.

Dalam Bab I ini, akan dibahas Linear Programming dengan metode grafik untuk fungsi tujuan baik maksimum maupun minimum. Fungsi tujuan maksimum akan diuraikan pada topik I sedang fungsi tujuan minimum akan diuraikan pada topik II.

Dengan mempelajari modul ini dengan baik dan benar, diharapkan Anda dapat memahami pennasalahan Linear Programming dengan metode grafik.

Setelah mempelajari medul ini diharapkan anda dapat:

1. Mengenal linear programming sebagai alat pengambilan keputusan

2. Merumuskan permasalahan operasi ke dalam bentuk linear programming

3. Menyelesaikar. permasalahan linear programming dengan grafik/ matematik

4. Memahami permasalahan infeasibility, unboundedness, alternative optima, dan redundancy.

Linier Programming dengan Metode Grafik :

Fungsi Tujuan Maksimisasi

A. FORMULASI PERMASALAHAN

Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana hanya terdapat dua variahel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama yang harus dilakukan adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear Programming (LP). Langkah-langkah dalam formulasi pennasalahan adalah :

1. pahamilah secara menyelwuh pennasalahan manajerial yang dihadapi 2. identifikasikan tujuan dan kendalanya

3. definisikan variabel keputusannya

4. gunakan variabel keputusan untuk merumuskan fungsi tujuan dan fungsi kendala secaramatematis.

Sebagai contoh dalam memfonnulasikan pennasalahan, berikut ini akan dibahas perusahaan Krisna Furniture yang akan membuat meja dan kursi. Keuntungan yang diperoleh dari satu unit n:eja adalah $7,- sedang keuntungan yang diperoleh dari satu unit kursi adalah $5,-.

Namun untuk meraih keuntungan tersebut Kr;_sna. Furniture menghadapi kendala keterbatasan jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit meja dia memerlukan 4 jam kerja. Untuk peinbuatan 1 unit kursi dia membutuhkan 3 jam kerja. Untuk pengecatan 1 unit meja dibutuhkan 2 jam kerja, dan ~-mtuk pengecatan 1 unit kursi dibiatuhkan 1 jam kerja. Jumlah jam kerja yang tersedia ur.tuk pembuatan meja dan kursi adalah 240 jam per minggu sedang jumlah jam kerja un-,uk pengecatan adalah 100 jam per minggu. Berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi agar keuntungan perusahaan maksimum?

Dari kasus di atas dapat diketahui bahwa tujuan perusahaan adalah memaksimumkan profit. Sedangkan kendala perusahaan tersebut adalah terbatasnya waktu yang tersedia untukpembuatan darn pengecatan. Apabila permasalahan tersebut diringkas dalam satu tabel akan tarnpak sebagai berikut:

TABEL 1.1 Informasi Permasalahan Krisna Furniture

	Jam kerja untuk membuat 1 unit produk		Total waktu tersedia perminggu
	Meja	Kursi
Pembuatan	4	8	240
Pengecatan	2	1	100
Profit per unit	7	5

Mengingat produk yang akan dihasilkan adalah meja dan k-ursi, maka dalam rangka memaksimumkan profit, perusahaan harus memutuskan berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi. Dengan demikian dalam kasus ini, yang merupakan variabel keputusan adalah meja (X1) dan kursi (X2).

Setelah kita mendefinisikan variabel keputusan, maka langkah selanjutnya adalah menuliskan secara matematis fungsi tujuan dan fungsi kendala.

1. Fungsi Tujuan

Tujuan perusshaan adalah maksimisasi keuntungan, sehingga kita dapat menuliskan fungsi tujuan sebagai berikut :

P = ($7 x jamlah meja     +($5 x jumlah kursi

Yang diproduksi)              yang diproduksi)

Atau secara matematis dapat dituliskan : Maksimisasi Z = $7X1 + $5X2

2. Fungsi kendala

Berkaitan dengan sumber daya vang digunakan, perusahaan tidak bisa memperkirakan secara tepat kebutuhan sumber daya yang digunakan untuk mencapai keuntungan tertentu. Biasanya perusahaan menyediakan sumber daya tertentu yang merupakan kebutuhan minimum atau maksimum. Kondisi seperti ini secara matematis diungkapkan dengan pertidaksamaan.

Kendala yang pertama adalah waktu yang tersedia di departemen pembuatan. Total waktu yang diperlukan untuk pembuatan Xl (meja) dimana untuk membuat satu unit meja diperlukan waktu 4 jam kerja dan untuk pembuatan X2 (kursi) dimana untuk membuat satu unit kursi diperlukan waktu 3 jam kerja adalah 240 jam. Kalimat ini bisa dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis menjadi :

4 X1 + 3 X2 <_>

Seperti halnya pada kendala yang pertama, maka pada kendala kedua dapat diketahui bahwa total waktu yang diperlukan untuk pengecatan X1 (me)'a) dimana untuk mengecat satu unit meja diperlukan waktu 2 jam kerja dan untuk pembuatan X2 (kursi) dimana untuk mengecat satu unit kursi dibutuhkan waktu 1 jam kerja adalah 100 jam. Kalimat ini bisa dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis menjadi :

2X1 + 1 X2 <>

Salah satu syarat yang harus dipenuhi dalam Linear Programming adalah asumsi nilai X1 dan X2 tidak negatif. Artinya bahwa

X1 > 0 (jumlah meja yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol)

X2 > 0 (jumlah kursi yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol)

Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara lengkap sebagai

berikut :

Fungsi tujuan :

Maksimisasi Z = $7X1 + $SX2. Fungsi kendala :

4 X1 + 3 X2 <>

2X1 + 1 X2 <>_ 0 (kendala non negatif pertama)

X2 >, 0 (Kendala Non Negatif kedua )

B. PENYELESAIAN LINEAR PROGRAMMING SECARA GRAFIK

Kasus Krisna Furniture tersebut akan kita selesaikan dengan metode grafik. Keterbatasan metode grafik adalah bahwa hanya tersedia dua sumbu ordinat, sehingga tidak bisa digunakan untuk menyelesaikan kasus yang lebih dari dua variabel keputusan.

Langkah pertama dalam penyelesaian dengan metode grafik adalah menggambarkan fungsi kendalanya. Untuk menggambarkan kendala pertama secara grafik, kita harus merubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda persamaan seperti berikut.

4X1+3X2 = 240

Kend,qla ini akan memotong salah satu atau kedua sumbu.

Sebagaimana halnya yang sudah kita pelajari dalam aljabar, bahwa untuk mengaambarkan fungsi linear yang tidak lain merupakan garis lurus, maka kita akan mencari titik potong garis tersebut dengan kedua sumbu. Suatu garis akan memotong salah satu sumbu apabila nilai variabel yang lain sama dengan nol. Dengan demikian kendala pertama akan memotong X1, pada saat X2 = 0, demikian juga kendala ini akan memotong X2, pada saat Xl = 0.

Kendala I: 4 XI + 3 X2 = 240

memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0 4X1+0=240

Xl = 240/4 Xl = 60.

memotong sumbu X2 pada saat X1 = 0 0 + 3 X2 = 240

X2 = 240/3 X2 = 80

Kendala I memotong sumbu Xl pada titik (60, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0,80)

Kendala II: 2 X1 + 1 X2 = 100

memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0

2X1+0=100

Xl = 100/2

XI = 50

memotong sumbu X2 pada saat X1 =0

O+X2=100

X2 = 100

Kendala I memotong sumbu X1 pada titik (50, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0,100).

Peraga 1.1. Grafik Area Layak

(not available)

X2=100-2X1

4 X1 + 3 X2 = 240 4X1+3(100-2X1)=240

4X1+300-6X1      =240

-2X1 =240-300   

-2X1=-60             

X1 = -60/-2 = 30.              

X2=100-2X1       

X2 = 100 - 2 * 30               

X2=100-60          

X2 = 40 

Sehingga kedua kendala akan saling berpotongan pada titik (30, 40).

Tanda <>

Untuk menentakan solusi yang optimal, ada dua cara yang bisa digunakan yaitu 1. dengan menggunakan garis profit (iso profit linc) 2. dengan titik sudut (corner point)

Penyelesaian dengan menggunakan garis profit adalaha penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kanan sampai menyinggung titik terjauh dari dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis profit, kita mengganti nilai Z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi profit. Pada kasus ini angka yang mudah dibagi angka 7 (koefisien Xl) dan 5 (koefisien X2) adalah 35. Sehingga fungsi tujuan menjadi 35 = 7 X1 + 5 X2. Garis ini akan memotong sumbu Xl pada titik (5, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 7).

Dari Peraga 1. 2 dapat dilihat bahwa iso profit line menyinggung titik B yang merupakan titik terjauh dari titik nol. Titik B ini merupakan titik optimal. Untuk mengetahui berapa nilai X1 dan X2, serta nilai Z pada titik B tersebut, kita mencari titik potong antara kendala I dan kendala II(karena titik B merupakan perpotongan antara kendala I dan kendala 11). Dengan menggunakan eliminiasi atau subustitusi diperoleh nilai Xl = 30, X2 = 40. dan Z = 410. Dari

hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan perusahaan yang akan memberikan profit maksimal adalah memproduksi Xl sebanyak 30 unit, X2 sebanyak 40 unit dan perusahaan akan memperoleh profit sebesar 410.

Peraga 1. 2. Iso profit line

(not available)

Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) artinya kita harus mencari nilai tertinggi dar: titik-titik yang berada pada area layak (feasible region). Dari peraga 1, dapat dilihat bahwa ada 4 titik yang membatasi area layak, yaitu titik 0 (0, 0), A (0, 80), B (30, 40), dan C (50, 0).

Keuntungan pada titik O(0, 0) adalah (7 x 0) + (5 x 0) = 0.

Keuntungan pada titik A (0; 80) adalah (7 x 0) + (5 x 80) = 400.

Keuntungan pada titik B (30; 40) adalah (7 x 30) + (5 x 40) = 410.

Keuntungan pada titik C (50; 0) adalah (7 x 50) + (5 x 0) = 350.

Karena keuntungan tertinggi jatuh pada titik B, maka sebaiknya perusahaan memproduksi meja sebanyak 30 unit dan kursi sebanyak 40 unit, dan perusahaan memperoleh ketuitungan optimal sebesar 410.

pengertian bilangan rasional dan irasional

Bilangan Rasional
    Bilangan rasional merupakan bilangan yang dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat a dan b, ditulis a/b dengan syarat b ≠ 0. Bilangan rasional terdiri dari :

1. Bilangan asli = 1, 2, 3, 4 , 5, …
2. Bilangan cacah = 0,1,2,3,…
3. Bilangan bulat = -3, -2, -1,0,1,2,3,…

Bilangan bulat dibagi menjadi tiga bagian yaitu : bilangan bulat negatif, bilangan bulat positif,bilangan bulat nol.
      Bilangan-bilangan rasional 1/5, 1/3, 3/2, 22/7, 56/10, …, a/b… disebut bilangan-bilangan rasional pecahan biasa atau sering disebut pecahan biasa
Bilangan-bilangan rasional 2 1/2, 42/3, 75/6, 15 1/(9,), …. C a/b disebut bilangan-bilangan rasional pecahan sempurna atau sering disebut pecahan campuran
      Bilangan rasional dapat juga ditulis sebagai decimal dengan deret angka yang berulang teratur. Anda dapat memperhatikan beberapa contoh berikut :
1/8 = 0,125000 … ( 0 berulang teratur)
1/6 = 0, 16666 … (6 berulang teratur )
1/4 = 0,25000 … ( 0 berulang teratur )
1/3 = 0,33333 … ( 3 berulang teratur)
3/7 = 0,428571428571 (428571 berulang beraturan)
1/2 = 0,50000 … (0 berulang teratur )
3/2 = 0,66666 … (6 berulang teratur)
17/9 = 1,8888 ... (8 berulang teratur )

Bilangan irasional 
       Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak rasional. Bilangan irasional bukan merupakan bilangan bulat dan juga bukan merupakan bilangan pecahan. Jika bilangan irasional ditulis dalam bentuk decimal, bilangan itu tidak mempunyai pola yang berulang secara teratur. Himpunan bilangan rasional adalah himpunan yang unsur-unsurnya merupakan bilangan rasional.
       Contoh bilangan irasional √3 = 1,732050807 yang ternyata tidak mempunyai pola berulang secara teratur, dan tidak akan berakhir bilangan √3 merupakan salah satu contoh bilangan irasional. Bilangan-bilangan, n , dan e meupakan contoh- contoh lain bilangan irasional dengan
N =3,14
E = 2, 71828
Bilangan irasional yang dinyatakan sebagai akar suatu bilangan , misalnya bilangan-bilangan √2, √(3 ), √( 5) ,dan √6 dapat dinyatakan sebagai hasil pengukuran panjang. Dengan bantuan dalil Phytagoras nilai bilangan – bilangan tersebut dapat ditunjukan secara visual dalam suatu ruas garis tertentu. Jika satuan yang dipakai untuk mengukur adlah cm, maka √2 cm, √(3 ) cm,√( 5) cm,dan √6 cm.
Penjumlahan pada himpunan bilangan asli, pengurangan pada himpunan bilangan bulat dan pengkuadratan pada himpunan bilangan asli merupakan tiga contoh operasi bilangan . operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian kita mulai dengan mengambil dua unsur dan akan memperoleh unsur yang ketiga. Operasi semacam ini disebut operasi biner. “Bi” artinya dua. Sedangkan operasi-operasi pengkuadratan dan penarikan akar disebut operasi singular karena hanya melibatkan satu unsur.

Sistem Koordinat Kartesius

Pengertian, Rumus, dan Sistem Koordinat Kartesius  - Materi mengenai sistem koordinat kartesius ini saya rangkum dari berbagai sumber kemudian saya tuliskan kembali dengan bahasa yang lebih mudah agar kalian bisa memahaminya dengan baik. Pada pelajaran matematika SD, sistem koordinat kartesius diajarkan pada kelas 6. siswa dituntut agar dapat menggunakan sistem koordinat kartesius, serta mengetahui cara menentukan titik pada bidang koordinat kartesius. Oleh karenanya, di dalam postingan kali ini rumus matematika akan mengulas secara lengkap mengenai pengertian, rumus, dan sistem koordinat kartesius.

Pengertian Sistem Koordinat Kartesius

Di dalam ilmu matematika, sistem koordinat kartesius dipergunakan untuk menentukan posisi ataupun letak dari sebuah titip pada suatu bidang datar. posisi titik tersebut ditentukan oleh dua buah garis yanng ditarik secara vertikal dan horizontal dimana titik pusatnya berada pada titik 0 (titik asal). Garis horizontal disebut sebagai sumbu X dimana X positif digambarkan mendatar ke kanan sedangkan X negatif digambar mendatar ke kiri. Sementara itu garis Vertikal disebut sebagai sumbu Y dimana Y positif digambarkan kearah atas dan Y negatif digambarkan ke arah bawah. Perhatikan gambar di bawah ini:

 

Cara Menentukan Titik Pada Sistem Koordinat Kartesius

Perhatikan gambar berikut ini:

Gambar diatas merupakan sebuah bidang koordinat yang dibentuk oleh dua buah garis yaitu garis X(Sumbu X) yang mendatar serta garis Y (Sumbu Y) yang Tegak. Kedua garis tersebut berpotongan pada satu titik yang disebut sebagai pusat koordinat (titik 0).

Bidang koordinat di atas disebut sebagai bidang koordinat kartesius yang digunakan untuk menentukan posisi dari sebuah titik yang dinyatakan dalam pasangan angka/bilangan. Coba kalian perhatikan tiitk A,B,C, dan D yang ada di dalam bidang tersebut. Untuk menentukan letak dari titik-titik tersebut kalian harus memulainya dari pusat koordinat (titik 0). Lalu perhatikan angka yang ada pada sumbu X barulah setelah itu perhatikan angka yang ada pada sumbu Y. Mengapa demikian? Karena untuk menuliskan letak titik pada bidang koordinat kartesius, kita menggunakan pasangan bilangan (X,Y).

Sebagai contoh, dari gambar di atas kita bisa menentukan pasangan bilangan untuk titik A, B, C, dan D sebagai berikut:

Letak Koordinat titik A = A(1,0)

Letak Koordinat titik B = B(2,4)

Letak Koordinat titik C = C(5,7)

Letak Koordinat titik D = D(6,4)

Agar lebih paham, coba perhatikan soal berikut:

Contoh Soal

Tentukan posisi titik koordinat pada bidang kartesius bila diketahui koordinat titik E (2,2), F (-2,1), dan G(-3,-3).

Jawab:

Kurang lebih begitulah cara untuk menentukan letak atau posisi titik pada sistem koordinat kartesius. Sekian materi mengenai Pengertian, Rumus, dan Sistem Koordinat Kartesius yang bisa saya uraikan. Semoga kalian bisa memahaminya dengan baik.

Sistem koordinat Kartesius

 Gambar 1 - Sistem koordinat Kartesius. Terdapat empat titik yang ditandai: (2,3) titik hijau, (-3,1) titik merah, (-1.5,-2.5) titik biru, dan (0,0), titik asal, yang berwarna ungu.

Dalam matematika, Sistem koordinat Kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidangdenganmenggunakandua bilangan yangbiasa disebut koordinat x (absis) dan koordinat y (ordinat) dari titik tersebut.

Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah yang tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang unit, yang dibuat tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut (lihat Gambar 1).

Sistem koordinat Kartesius dapat pula digunakan pada dimensi-dimensi yang lebih tinggi, seperti 3 dimensi, dengan menggunakan tiga sumbu (sumbu x, y, dan z).

Gambar 2 - Sistem koordinat Kartesius disertai lingkaran merah yang berjari-jari 2 yang berpusat pada titik asal (0,0). Persamaan lingkaran merah ini adalah x² + y² = 4.

Dengan menggunakan sistem koordinat Kartesius, bentuk-bentuk geometri seperti kurva dapat diekspresikan dengan persamaan aljabar. Sebagai contoh, lingkaran yang berjari-jari 2 dapat diekspresikan dengan persamaan x² + y² = 4 (lihat Gambar 2).

Istilah Kartesius digunakan untuk mengenang ahli matematika sekaligus filsuf dari PerancisDescartes, yang perannya besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri (Cartesius adalahlatinisasi untuk Descartes). Hasil kerjanya sangat berpengaruh dalam perkembangan geometri analitik, kalkulus, dan kartografi.

Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun 1637 dalam dua tulisan karya Descartes. Pada bagian kedua dari tulisannya Discourse on the Method, ia memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau objek pada sebuah permukaan, dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain. Dalam tulisannya yang lain, La Géométrie, ia memperdalam konsep-konsep yang telah dikembangkannya.

Lihat koordinat untuk sistem-sistem koordinat lain seperti sistem koordinat polar.

Sistem koordinat dua dimensi

Sistem koordinat Kartesius dalam dua dimensi umumnya didefinisikan dengan dua sumbu yang saling bertegak lurus antar satu dengan yang lain, yang keduanya terletak pada satu bidang (bidang xy). Sumbu horizontal diberi label x, dan sumbu vertikal diberi label y. Pada sistem koordinat tiga dimensi, ditambahkan sumbu yang lain yang sering diberi label z. Sumbu-sumbu tersebut ortogonal antar satu dengan yang lain. (Satu sumbu dengan sumbu lain bertegak lurus.)

Titik pertemuan antara kedua sumbu, titik asal, umumnya diberi label 0. Setiap sumbu juga mempunyai besaran panjang unit, dan setiap panjang tersebut diberi tanda dan ini membentuk semacam grid. Untuk mendeskripsikan suatu titik tertentu dalam sistem koordinat dua dimensi, nilai xditulis (absis), lalu diikuti dengan nilai y (ordinat). Dengan demikian, format yang dipakai selalu (x,y) dan urutannya tidak dibalik-balik.

Gambar 3 - Keempat kuadran sistem koordinat Kartesius. Panah yang ada pada sumbu berarti panjang sumbunya tak terhingga pada arah panah tersebut.

Pilihan huruf-huruf didasari oleh konvensi, yaitu huruf-huruf yang dekat akhir (seperti x dan y) digunakan untuk menandakan variabel dengan nilai yang tak diketahui, sedangkan huruf-huruf yang lebih dekat awal digunakan untuk menandakan nilai yang diketahui.

Sebagai contoh, pada Gambar 3, titik P berada pada koordinat (3,5).

Karena kedua sumbu bertegak lurus satu sama lain, bidang xy terbagi menjadi empat bagian yang disebut kuadran, yang pada Gambar 3 ditandai dengan angka I, II, III, dan IV. Menurut konvensi yang berlaku, keempat kuadran diurutkan mulai dari yang kanan atas (kuadran I), melingkar melawan arah jarum jam (lihat Gambar 3). Pada kuadran I, kedua koordinat (x dan y) bernilai positif. Pada kuadran II, koordinat x bernilai negatif dan koordinat y bernilai positif. Pada kuadran III, kedua koordinat bernilai negatif, dan pada kuadran IV, koordinat x bernilai positif dan y negatif (lihat tabel dibawah ini).

Kuadran	nilai x	nilai y
I	> 0	> 0
II	< 0	> 0
III	< 0	< 0
IV	> 0	< 0