spiral

 Persamaan polar yang ditinjau dalam sebelumnya menuju ke grafik-grafik yang dikenal, terutama garis, lingkaran, dan konik. Sekarang kita mengalihkan perhatian kita pada grafik-grafik yang lebik eksotis – kardioida, limason, lemniskat, mawar, dan spiral. Persamaan-persamaan Cartesius padanannya agak rumit. Beberapa kurva memiliki persamaan sederhana dalam suatu system; kurva-kurva ini mmiliki persamaan sederhana dalam system yang kedua.    

        Sifat simetri dapat membantu kita memahami sebuah grafik. Berikut beberapa uji yangcukup untuk kesimetrian dalam koordinat polar. Diagram-diagram akan membantu Anda mengembangkan validitas mereka.

1.       Grafik persamaan polar simetris terhadap sumbu –x (sumbu polar) jika penggatian (r,θ ) oleh (r,-θ ) atau oleh (-r,-θ ) menghasilkan persamaan yang ekuivalen 

2.     .  Grafik persamaan polar simetris terhadap sumbu –y (garisθ  = /2 jika penggantian (r,θ )oleh (-r,-θ ) atau oleh (r,-θ ) menghasilkan persamaan ekuivalen 

3.      . Grafik persamaan polar simetris terhadap titik asal (polar), jika penggantian (r, θ) oleh (-r,θ ) (atau oleh (r,+θ ) menghasilkan persamaan yang ekuivalen

 

Uji simetri

a.       Sumbu x:

1.      Perhatikan gambar berikut 

2.      Titik A adalah titik awal yaitu (r, θ )

3.      Sumbu x

Sumbu X

                            

4.      Titik A dicerminkan ke sumbu x 

5.      Titik B hasil pencerminan sumbu x, yang mempunyai 2 titik

6.      Titik 1 = jika r positif dan θ  positif(searah jarum jam ),θ = sudut sesuai kuadran. 

(r,2-θ )

Titik 2 =jika r positi dan θ negatif (berlawanan arah jarum jam ), θ= sudut sesuai kuadran(r,-θ ).

7.      Titik B mempunyai 2 titik polar lain, 

8.      Titik 1 =  r berlawanan tanda dan  θpositif(searah jarum jam),(-r,-θ  )₌₌₌ θ= sudut sesuai kuadran

9.      Titik 2 = r berlawanan tanda dan θ  negatif ( berlawanan arah jarum jam ),(-r,-(+θ ))

b.      Uji sumbu y

Sumbu y :

1.      Perhatikan gambar berikut 

2.      Titik A adalah titik awal yaitu (r, θ )

3.     

Sumbu y

Sumbuy

                               

                            

4.      Titik A dicerminkan ke sumbu y

5.      Titik B hasil pencerminan sumbu y, yang mempunyai 2 titik

6.    Titik 1 = jika r positif dan θ  positif(searah jarum jam ),θ = sudut sesuai kuadran₌₌₌       (r,-θ )

Titik 2 =jika r positi dan θ negatif (berlawanan arah jarum jam ),θ = sudut sesuai kuadran ₌₌₌(r,-( +θ))

7.      Titik B mempunyai 2 titik polar lain, yaitu di titik c

8.      Titik 1 =  r berlawanan tanda dan  θ positif(searah jarum jam) ₌₌₌  (-r,2-θ)

  ₌₌₌θ = sudut sesuai kuadran

Titik 2 = r berlawanan tanda  θ dan θ  negatif (berlawanan arah jarum jam)₌₌(-r,-θ ) ₌₌₌θ = sudut sesuai kuadran

c.       Sumbu polar

1.      Perhatikan gambar berikut 

2.      Titik A adalah titik awal yaitu (r, θ )

3.      Sumbu

Sumbu  polar

                                                                                         

4.      Titik A dicerminkan ke sumbu  polar

5.      Titik B hasil pencerminan sumbu polar, yang mempunyai 2 titik

6.      Titik 1 = jika r positif dan  positif(searah jarum jam ), = sudut sesuai kuadran₌₌₌       (r, +θ) 

Titik 2 =jika r positi dan  negatif (berlawanan arah jarum jam ), = sudut sesuai kuadran ₌₌₌(r,-(-θ ))

7.      Titik B mempunyai 2 titik polar lain, yaitu di titik c

8.      Titik 1 =  r berlawanan tanda dan θ  positif(searah jarum jam) )₌₌₌  (-r,θ) ₌₌₌ 

θ= sudut sesuai kuadran

Titik 2 = r berlawanan tanda  dan θ negatif (berlawanan arah jarum jam)₌ (-r,-(2-θ )) ₌₌₌ θ= sudut sesuai kuadran

Grafik persamaan polar terdiri dari berbagai macam bentuk :

1.      Limason

limasaon dapat ditinjau dari persamaan r = a+ b cos θ  atau r= a + b sin θ , dengan a dan b positif .

• r = a + b sin θ → limaçon menghadap ke bawah
• r = a – b sin θ → limaçon menghadap ke atas
• r = a + b cos θ → limaçon menghadap ke kiri
• r = a – b cos θ → limaçon menghadap ke kanan

2.      kardioida

kardioida dapat ditinjau dari persamaan r = a+  b cosθ  atau r= a + b sin θ , dengan a=b

3.      Lemniskat

Lemniskat dapat ditinjau dari persamaan r²= + a cos 2θ , atau r² = + a sin 2θ . Berupa kurva –kurva yang berbentuk angka –delapan 

4.      Mawar

Mawar dapat ditinjau dari persamaan  r= a cos nθ  atau r = a sin nθ  . mawar memiliki n daun jika n gasal. Dan memiliki  2n daun jika n genap 

5.      Spiral

            Spiral dapat ditinjau dari persamaan r=a θ

akan membentuk kurva yang berbentuk spiral, ujungnya dimulai dari titik asal (0, 0).

Banyaknya putaran dalam spiral tergantung dari kisaran nilai θ. Jika θ berkisar dari 0 hingga 2π, spiral yang terbentuk memiliki 1 putaran. Jika θ berkisar dari 0 hingga 4π, spiral yang terbentuk memiliki 2 putaran, dan seterusnya.

Langakah –langkah menggambar grafik persamaan polar  sebagai berikut :

1.      Uji simetris :

Uji simetris terdiri dari 3 tahap yaitu :

a.       Uji sumbu x

Uji sumbu x  menggunakaan dengan memilih salah satu dari :

-(r,-θ )

-(-r,-θ )

-(r, 2-θ )

-(-r,-(+θ ))

Keterangan : apabila dengan memilih salah satu sudah memenuhi , maka tidak perlu menguji yang lain, namun jika tidak memenuhi maka diuji semuanya sampai menemukan yang memenuhi

b.      Uji sumbu y

-          (-r,-θ )

-          (r,-θ )

-          (-r,2-θ )

-          (r,-( -θ))

-          Keterangan : apabila dengan memilih salah satu sudah memenuhi , maka tidak perlu menguji yang lain, namun jika tidak memenuhi maka diuji semuanya sampai menemukan yang memenuhi

c.       Uji sumbu polar

-          (-r,θ )

-          (r,-(-θ ))

-          (-r,-(2-θ ))

-          (r,+θ )

-          Keterangan : apabila dengan memilih salah satu sudah memenuhi , maka tidak perlu menguji yang lain, namun jika tidak memenuhi maka diuji semuanya sampai menemukan yang memenuhi

2.      Mencari titik

Mencari titik bisa menggunakan  dengan:

-           mensubsitusikan  kedalam persamaan polar yang di tanya maka nilai r didapat 

-          Mensubsitusikan nilai r yang didapat ke dalam persamaan  x= r cosθ  dan           y= r sin θ  untuk mendapatkan nilai x dan y

        Atau menggunakan skala  

3.      Gambar grafik persamaan polar berdasarkan data yang di dapat

Catatan :

-          Jika  grafik  dengan bentuk spiral  tidak ada yang simetris  dari ke tiga uji tersebut.

-          Jika grafik  dengan bentuk lemniskat atau mawar  ada yang tidak simetris  dari uji tersebut maka di coba sampai menemukan kesimetrian

-          Jika grafik yang lain  minimal ada yang satu simetri dari ke 3 uji tersebut

Contoh soal :

1.      Analisis persamaan r = 4 - 3 cos  untuk simetri dan sketsakan grafiknya.

Penyelesaian :

Persamaan diatas termasuk kedalam bentuk grafik limason karena persamaan r = a+ b cos θ atau

 r= a +  b sin θ , dengan a dan b positif .

a.       Uji simetri

-          Uji simetri sumbu x (r,-θ )

r = 4 - 3 cos  

                             r = 4 - 3 cos (-θ ) Karena kosinus adalah fungsi genap (cos(-θ ) = cosθ

r = 4 - 3 cosθ  maka simetris terhadap sumbu x

-          Uji simetri sumbu y (r,-θ )

r = 4 - 3 cos θ 

r = 4 - 3 cos (-θ )

                              r = 4 - 3 (-cosθ   )

                              r = 4 + 3 cos θ maka tidak simetris terhadap sumbu Y

-          Uji simetri sumbu polar (r,+θ )

r = 4 - 3 cos(+θ )

r  =  4 - 3 cos(+θ )

r =  4 - 3 (-cos θ   )

r = 4 +3 cos θ  maka tidak simetri terhadap sumbu polar

 persamaan r = 2 + 4 cos θ  hanya simetri terhadap sumbu x . karena berbentuk limason maka tidak perlu dicari semuanya  karena sudah ada 1 yang simetri

b.      Mencari titik dengan skala   

θ	R
0	1
30	1.40
60	2.5
105	4.77
120	5.5
135	6.12
150	6.59
180	7

  

c.       Buat grafik dari persamaan

 

Perpotongan Kurva dalam Koordinat Polar 

           Dalam koordinat polar sebuah titik P memiliki banyak koordinat polar, dan satu pasangan dapat memenuhi persamaan polar satu kurva dan pasangan yang lain dapat memenuhi kurva yang lain. Misalnya, lingkaran r = 4 cos  memotong garis  = p/3 di dua titik, yaitu polar dan (2, p/3), tetapi hanya pasangan terakhir yang merupakan penyelesaian bersama kedua persamaan tersebut. Ini terjadi karena koordinat polar yang memenuhi persamaan garis adalah (0, p/3) dan yang memenuhi persamaan lingkaran adalah (0, p/2 + np).

            Kesimpulannya untuk memperoleh semua perpotongan dua kurva yang persamaan polarnya diberikan, selesaikanlah persamaan-persamaan secara imulutan; kemugian Gambarkan garfik dua persamaan tersebut secara seksama untuk menemukan titik potong lain yang masih mungkin.

CONTOH  1

Carilah titik potong dua kardioida r = 6 dan r =4+4 cos θ

PENYELESAIAN

Langah – langkah menyelesaikan :

a.   1.     menyamakan persamaan :

r=r

6 = 4+4 cos θ

2 = 4 cos θ 

½ = cos θ 

b.     2.  mencari  θ

½ = cos θ 

    = 60 ^o  atau 300 ^o      karena θ tersebut menghasilkan nilai ½

c.      3.  subsitusi nilai  ke persamaan

·         r= 6   di subsitusi   

maka  r=6

·         r = 4+ 4 cos θ  disubsitusi = 300 ^o

maka r = 4 + 4 cos θ (300 ^o)

r= 6

jadi titik potong (r₁,θ ₁) (r₂,θ ₂) = (6,60^o) dan (6,300 ^o)